翻译：组合和排列Combination and Permutation
有什么不同？
在英语中，我们松散地使用“组合”这个词，没有考虑事物的顺序是否重要。换句话说：
“我的水果沙拉是苹果、葡萄和香蕉的组合”我们不在乎水果的顺序，它们也可以是“香蕉、葡萄和苹果”或“葡萄、苹果和香蕉”，它们是同一种水果沙拉。
“保险箱的密码是 472”。现在我们确实关心订单。“724”不起作用，“247”也不起作用。它必须正好是4-7-2。
因此，在数学中，我们使用更精确的语言：
当顺序无关紧要时，它是一个Combination。
当顺序确实很重要时，它是一个Permutation。
换句话说：排列是有序的组合。
想法 为了帮助你记住，认为“ P ermutation … P osition”
排列 Permutation
基本上有两种类型的排列：
- 允许重复：例如上面的锁。它可能是“333”。
- 无重复：例如跑步比赛中的前三个人。你不能成为第一和第二。
1. 重复排列
这些是最容易计算的。
当一个事物有 n 个不同的类型时……我们每次都有n 个选择！
例如：选择其中3项，排列为：
n × n × n
（n 乘以 3 次）
更一般地说：从具有n 个不同类型的事物中选择r，排列是：
n × n × ... （r 次）
（换句话说，有Ñ为首选的可能性，则有Ñ用于第二选择possibilites，依此类推，每次multplying。）
哪个更容易写下使用指数的[R ：
n × n × ... (r 次) = n^r
示例：在上面的锁中，有 10 个数字可供选择 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)，我们选择其中的 3 个：
所以，公式很简单：
ñ ^ R
其中n是可供选择的事物数量，
我们从中选择r个，
允许重复，
顺序很重要。
2. 无重复排列
在这种情况下，我们每次都必须减少可用选择的数量。
示例：16 个台球可以按什么顺序排列？
选择后，比如数字“14”，我们不能再选择了。
所以，我们的第一个选择有 16 种可能性，我们的下一个选择有 15 种可能性，然后是 14、13、12、11 等等。总排列是：
16 × 15 × 14 × 13 × ... = 20,922,789,888,000
但也许我们不想全部选择它们，只选择其中的3个，然后是：
16 × 15 × 14 = 3,360
换句话说，16 个球中的 3 个球可以有 3,360 种不同的排列方式。
如果没有重复，我们的选择每次都会减少。
但是我们如何在数学上写出来呢？答：我们使用“阶乘函数”
感叹号表示阶乘
该阶乘函数（符号：！）只是意味着乘以一系列递减的自然数。例子：
4！= 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7！= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
1！= 1
注：一般认为0! = 1。不将任何数字相乘得到 1 似乎很有趣，但它有助于简化许多等式。
所以，当我们想要选择所有的台球时，排列是：
16！= 20,922,789,888,000
但是当我们只想选择 3 时，我们不想在 14 之后相乘。我们怎么做呢？有一个巧妙的技巧：我们除以13！
那很整洁。在13×12×...等被“抵消”，只留下16×15×14。
公式写成：n! / (n − r)!
其中n是可供选择的事物数量，
我们从中选择r个，
不重复，
顺序很重要。
示例我们的“16 个台球中 3 个的顺序示例”是：
示例：一等奖和二等奖有多少种方式可以授予 10 人？
符号
人们没有编写整个公式，而是使用不同的符号，例如：
示例：P (10,2) = 90
组合Combination
也有两种类型的组合（还记得为了不的不现在重要）：
- 允许重复：例如口袋里的硬币 (5,5,5,10,10)
- 不重复：例如彩票号码（2、14、15、27、30、33）
1. 重复组合
实际上，这些是最难解释的，所以我们稍后会回到这一点。
2. 不重复的组合
这就是彩票的运作方式。一次抽取一个数字，如果我们有幸运数字（无论顺序如何），我们就赢了！
解释它的最简单方法是：
假设顺序确实很重要（即排列），
然后改变它，因此顺序并没有关系。
回到我们的台球示例，假设我们只想知道选择了哪 3 个台球，而不是顺序。
我们已经知道 16 个中有 3 个给了我们 3,360 个排列。
但其中许多现在对我们来说都是一样的，因为我们不在乎什么顺序！
例如，假设选择了球 1、2 和 3。这些是可能的：
因此，排列具有 6 倍的可能性。
事实上，有一种简单的方法可以计算出“1 2 3”可以排列多少种方式，我们已经讨论过。答案是：
3！ = 3 × 2 × 1 = 6
（再举个例子：4个东西可以放在4！ = 4 × 3 × 2 × 1 = 24种不同的方式，自己试试吧！）
所以我们调整我们的排列公式以减少对象可以排列的方式（因为我们不再对它们的顺序感兴趣）：
该公式非常重要，通常只是写在大括号中，如下所示：
其中n是可供选择的事物数量，我们从中选择r个，不重复，顺序无关紧要。
通常称为“n选r”（如“16选3”）也称为二项式系数。
符号
除了“大括号”，人们还使用这些符号：
示例：台球（无订单）
所以，我们的台球示例（现在没有顺序）是：
或者我们可以这样做：
有趣的是，还要注意这个公式是如何漂亮和对称的：
换句话说，从 16 个球中选择 3 个球，或从 16 个球中选择 13 个球具有相同的组合数。
Pascal帕斯卡三角形
我们还可以使用Pascal 三角形来查找值。向下到“n”行（顶行是 0），然后沿着“r”个位置和值就是我们的答案。这是显示第 8 行的摘录：
1. 重复组合
好的，现在我们可以解决这个问题…
冰淇淋
假设冰淇淋有五种口味：香蕉、巧克力、柠檬、草莓和香草( banana, chocolate, lemon, strawberry and vanilla)。
我们可以吃三勺。会有多少变化？
让我们使用字母表示口味：{b, c, l, s, v}。示例选择包括
- {c, c, c}（3 勺巧克力）
- {b, l, v}（香蕉、柠檬和香草各一个）
- {b, v, v}（一个香蕉，两个香草）
（需要说明的是：有n=5 种东西可供选择，我们选择其中的r=3种。
顺序无关紧要，我们可以重复！）
现在，我无法直接向您描述如何计算它，但我可以向您展示一种特殊的技术，让您可以计算出来。
想想装在盒子里的冰淇淋，我们可以说“移过第一个盒子，然后拿 3 勺，然后再移 3 个盒子到最后”，我们将得到 3 勺巧克力！
我们可以把它写成 > o o o > > >（箭头表示移动，圆圈表示勺子）。
其实上面的三个例子可以这样写：
- {c, c, c}（3 勺巧克力）：
> o o o > > > - {b, l, v}（香蕉、柠檬和香草各一个）：
o > > o > > o - {b, v, v}（一个香蕉，两个香草）：
o > > > > o o
好的，所以与其担心不同的口味，我们有一个更简单的问题：“我们可以用多少种不同的方式排列箭头和圆圈？”
请注意，始终有 3 个圆圈（3 勺冰淇淋）和 4 个箭头（我们需要移动 4 次才能从第 1 个容器移到第 5 个容器）。
所以（这里是一般的）有r + (n−1) 个位置，我们想要选择其中的r 个有圆。
这就像说“我们有r + (n−1) 个台球，想要从中选择r个”。换句话说，它现在就像台球问题，但数字略有变化。我们可以这样写：
其中ñ是的事情，不知如何选择号码，而且我们选择[R它们的重复允许，顺序无关紧要。
有趣的是，我们可以看箭头而不是圆圈，然后说“我们有r + (n-1) 个位置，想要选择其中的(n-1) 个有箭头”，答案是一样的：
那么，我们的例子呢，答案是什么？
有 35 种方法可以从五种口味的冰淇淋中获得 3 勺。
综上所述
呼，吸收了很多东西，所以也许你可以再读一遍以确保！
但我们知道如何这些公式的工作只是成功的一半。弄清楚如何解释现实世界的情况可能非常困难。
但至少现在您知道如何计算“订单无关紧要”和“不允许重复”的所有 4 种变体。
参考
https://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutations.html
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