§6 多项式

C1 多项式环

1）单变元多项式：

多项式环：含单位元交换环A上定义一个环B：
- 元素为有限序列 f = ( f 0 , f 1 , … ) , f i ∈ A f = (f_0,f_1,\dots),f_i\in A f=(f0,f1,…),fi∈A
- 加法：分量相加， f + g = ( f 0 + g 0 , … ) f+g = (f_0+g_0,\dots) f+g=(f0+g0,…)
- 乘法：分量乘积下标和相同累加， f ⋅ g = ( h 0 , … ) , h k = ∑ i + j = k f i g j f\cdot g = (h_0,\dots),h_k = \sum_{i+j=k}f_ig_j f⋅g=(h0,…),hk=∑i+j=kfigj
- 单位元：即环A的单位元 1
易得，环B是一个含单位元交换环。记为A[X]，称A上单变元X的多项式环，元素称为多项式
变元(未定元)：序列 ( 0 , 1 , 0 , 0 , … ) (0,1,0,0,\dots) (0,1,0,0,…)，记为 X X X
- 易得， X 2 = ( 0 , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) ; X n = ( 0 , 0 , … , 0 ⏟ n , 1 , 0 … ) X^2 = (0,0,1,0,\dots,0);X^n = (\underbrace{0,0,\dots,0}_n,1,0\dots) X2=(0,0,1,0,…,0);Xn=(n 0,0,…,0,1,0…)
- 进一步，多项式可唯一表示为 f = ∑ i = 0 n f i X i , f i f = \sum_{i=0}^nf_iX^i,f_i f=∑i=0nfiXi,fi称为系数， f 0 f_0 f0称常数项， f n f_n fn称首项
- f = 0 ⟺ ∀ i , f i = 0 f = 0 \iff\forall i,f_i = 0 f=0⟺∀i,fi=0称零多项式
- n称次数，记为 deg ⁡ f \deg f degf，一次多项式又称线性多项式。
  易得， deg ⁡ ( f + g ) ≤ max ⁡ { deg ⁡ f , deg ⁡ g } ; deg ⁡ ( f g ) ≤ deg ⁡ f + deg ⁡ g \deg(f+g)\le \max\{\deg{f},\deg{g}\};\deg(fg)\le \deg{f}+\deg{g} deg(f+g)≤max{degf,degg};deg(fg)≤degf+degg
定理：若A是整环，则A[X]是整环

小证： f n ≠ 0 , f n ′ ≠ 0 ⟹ f n f n ′ = f n + n ′ ≠ 0 f_n\neq 0,f_{n'}\neq 0\implies f_nf_{n'} = f_{n+n'}\neq 0 fn=0,fn′=0⟹fnfn′=fn+n′=0
定理：若交换环R含有子环A，则 ∀ t ∈ R , ∃ 1 Π t ( 同态 ) : A [ X ] → R , s . t . : ∀ a ∈ A , Π t ( a ) = a , Π t ( X ) = t \forall t \in R,\exist_1 \Pi_t(同态):A[X]\to R,s.t.:\forall a\in A,\Pi_t(a) = a,\Pi_t(X) = t ∀t∈R,∃1Πt(同态):A[X]→R,s.t.:∀a∈A,Πt(a)=a,Πt(X)=t

小证：实际上该同态为 Π t ( f ) = ∑ i = 0 n f i t i \Pi_t(f) = \sum_{i=0}^nf_it^i Πt(f)=∑i=0nfiti
- 该同态实际上计算了多项式在X=t上的唯一取值
- 若存在多项式 f ∈ A [ X ] f \in A[X] f∈A[X]在 t t t上的取值为0，则称 t t t为A上的代数元
- 若 Π t \Pi_t Πt是一个单同态( ker ⁡ Π t = { 0 } \ker\Pi_t=\{0\} kerΠt={0},即无非零解)，则称 t t t是一个A上超越元
- 特别地， A = Q , R = C A = \mathbb{Q},R=\mathbb{C} A=Q,R=C时，称为代数数和超越数
定理：A，R为任意交换环，若存在同态 ϕ : A → R \phi:A\to R ϕ:A→R是环同态，则可唯一扩充为 ϕ t : A [ X ] → R \phi_t:A[X]\to R ϕt:A[X]→R，它计算取值

小证：与前一定理的区别只在于A与R上运算不是相同的而是同态的

2）多变元多项式：

多变元多项式环：记为A[X₁,…,X_n],可由低维环递归定义

例如，令B = A[X]代替A，类似B的定义去定义一个新环C = B[Y],Y是一个新的变元
多变元多项式唯一表示： f = ∑ ( i ) a ( i ) X ( i ) , ( i ) = ( i 1 , … , i n ) , a ( i ) = a i 1 i 2 … i n , X ( i ) = X 1 i 1 … X n i n f = \sum_{(i)}a_{(i)}X^{(i)},(i)=(i_1,\dots,i_n),a_{(i)} = a_{i_1 i_2 \dots i_n},X^{(i)} = X_1^{i_1}\dots X_n^{i_n} f=∑(i)a(i)X(i),(i)=(i1,…,in),a(i)=ai1i2…in,X(i)=X1i1…Xnin
f = 0 ⟺ ∀ ( i ) : a ( i ) = 0 f = 0 \iff \forall (i): a_{(i) = 0} f=0⟺∀(i):a(i)=0
次数：
- X k X_k Xk的最大指数称关于 X k X_k Xk的次数，记为 deg ⁡ k f \deg_k{f} degkf
- 单项式 X ( i ) = X 1 i 1 … X n i n X^{(i)}=X_1^{i_1}\dots X_n^{i_n} X(i)=X1i1…Xnin的**(全)次数**为 ∑ k = 1 n i k \sum_{k=1}^n i_k ∑k=1nik
- 若所有单项式的次数相同，称为齐次多项式
- 单项式次数中最大的称为多项式f的(全)次数，记为 deg ⁡ f \deg{f} degf。规定 deg ⁡ 0 = − ∞ \deg {0}= -\infin deg0=−∞
(归纳)定理：若A是整环，则A[X₁,…,X_n]是整环
(易证)定理：A上任意两个n变元多项式f,g，有 deg ⁡ f g = deg ⁡ f + deg ⁡ g \deg{fg} = \deg{f}+\deg{g} degfg=degf+degg

C2 多项式因式分解

1）带余除法：

定理：若A为整环，g是A[x]中多项式，首项系数可逆，则 ∀ f ∈ A [ X ] , ∃ 2 q , r ∈ A [ X ] , s . t . f = p q + r , deg ⁡ r < deg ⁡ g \forall f \in A[X],\exist_2 q,r\in A[X],s.t. \ f = pq +r,\deg{r}\lt \deg{g} ∀f∈A[X],∃2q,r∈A[X],s.t. f=pq+r,degr<degg,且商 q q q和余数 r r r都在环A[X]中
- 小证：欧几里得算法，归纳除即可
r = 0 r = 0 r=0,称整除
注记：首项系数为1的多项式称为首一多项式
x 4 + 4 = ( x 2 − 2 x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2) x4+4=(x2−2x+2)(x2+2x+2)

2）整除： ∃ c ∈ R : b = a c \exist c\in R:b=ac ∃c∈R:b=ac，称a整除b，记为 a ∣ b a|b a∣b

性质：
- 传递性： a ∣ b , b ∣ c ⟹ a ∣ c a|b,b|c\implies a|c a∣b,b∣c⟹a∣c
- 线性： a ∣ b i , i = 1 , 2 , … , m ⟹ ∀ c 1 , … c m : a ∣ ∑ i = 1 m b i c i a|b_i,i=1,2,\dots,m\implies\forall c_1,\dots c_m:a|\sum_{i=1}^m b_ic_i a∣bi,i=1,2,…,m⟹∀c1,…cm:a∣∑i=1mbici

3）相伴： a ∣ b ∨ b ∣ a ⟺ ∃ u : b = u a , u ∣ 1 a|b \vee b|a\iff \exist u: b=ua,u|1 a∣b∨b∣a⟺∃u:b=ua,u∣1(即 u u u可逆)

整数环 Z \Z Z中，可逆元为 ± 1 \pm1 ±1
多项式整环上可逆元就是整环上可逆元

4）素元(既约元)：不可逆且不能表述为 p = a b , a ∤ 1 , b ∤ 1 p=ab,a\nmid1,b\nmid1 p=ab,a∤1,b∤1

显然，域中非零元都可逆，故没有素元
多项式环中的素元称为既约多项式
素元的相伴元仍是素元

5）唯一因子分解环：整环R使得：Ⅰ非零元素均可表示为形式： a = u p 1 p 2 … p r , u ∣ 1 , p i a = up_1p_2\dots p_r,u|1,p_i a=up1p2…pr,u∣1,pi为素数;Ⅱ若有另一分解 a = v q 1 q 2 … q s a = vq_1q_2\dots q_s a=vq1q2…qs，则 r = s r=s r=s，且适当选取 q i q_i qi的顺序，能使得所有$q_i 与与与p_i$相伴

可逆元的素因子分解是平凡的，即自身
定理：唯一因子分解换的分解唯一当且仅当 ∀ p , p ∣ a b → p ∣ a ∧ p ∣ b \forall p,p|ab\to p|a\wedge p|b ∀p,p∣ab→p∣a∧p∣b成立

6）最大公因数： g . c . d ( a , b ) g.c.d(a,b) g.c.d(a,b)

定义：
- 因数性： d ∣ a ∨ d ∣ b d|a\vee d|b d∣a∨d∣b
- 最大化： ∀ c : c ∣ a ∨ c ∣ b → c ∣ d \forall c: c|a\vee c|b\to c|d ∀c:c∣a∨c∣b→c∣d
显然，相伴元也是最大公因数
运算性质：
- g . c . d . ( a , b ) = a ⟺ a ∣ b g.c.d.(a,b)=a\iff a|b g.c.d.(a,b)=a⟺a∣b
- g . c . d . ( a , 0 ) = a g.c.d.(a,0)=a g.c.d.(a,0)=a
- g . c . d . ( t a , t b ) = t ⋅ g . c . d . ( a , b ) g.c.d.(ta,tb)=t \cdot g.c.d.(a,b) g.c.d.(ta,tb)=t⋅g.c.d.(a,b)
- g . c . d . ( g . c . d . ( a , b ) , c ) = g . c . d . ( a , g . c . d . ( b , c ) ) g.c.d.(g.c.d.(a,b),c)=g.c.d.(a,g.c.d.(b,c)) g.c.d.(g.c.d.(a,b),c)=g.c.d.(a,g.c.d.(b,c))

7）最小公倍数： l . c . m . ( a , b ) l.c.m.(a,b) l.c.m.(a,b)

定义：
- 因数性： a ∣ m ∨ b ∣ m a|m\vee b|m a∣m∨b∣m
- 最小化： ∀ c : a ∣ c ∨ b ∣ c → d ∣ c \forall c: a|c\vee b|c\to d|c ∀c:a∣c∨b∣c→d∣c
l . c . m . ( a , b ) = 0 ⟹ a = 0 ∧ b = 0 l.c.m.(a,b)=0\implies a=0\wedge b=0 l.c.m.(a,b)=0⟹a=0∧b=0
a , b ≠ 0 , a b = d ⋅ l . c . m ( a , b ) ⟹ d = g . c . d ( a . b ) a,b\neq0,ab=d\cdot l.c.m(a,b)\implies d = g.c.d(a.b) a,b=0,ab=d⋅l.c.m(a,b)⟹d=g.c.d(a.b)

8）互素： g . c . d . ( a , b ) = 1 g.c.d.(a,b)=1 g.c.d.(a,b)=1

9）整除性判别法：设R为唯一因子分解环， P \mathcal{P} P为素元集(使得任意素元相伴其中一个且仅一个元素)，分解a,b为 a = u Π i p i k i , b = v Π i p i l i a=u\Pi_ip_i^{k_i},b=v\Pi_ip_i^{l_i} a=uΠipiki,b=vΠipili。则 a ∣ b ⟺ ∀ i , k i ≤ l i a|b\iff\forall i,k_i\le l_i a∣b⟺∀i,ki≤li。 g . c . d . ( a , b ) = Π i p i min ⁡ { k i , l i } , l . c . m . ( a , b ) = Π i p i max ⁡ { k i , l i } g.c.d.(a,b)=\Pi_ip_i^{\min\{k_i,l_i\}},l.c.m.(a,b)=\Pi_ip_i^{\max\{k_i,l_i\}} g.c.d.(a,b)=Πipimin{ki,li},l.c.m.(a,b)=Πipimax{ki,li}

10）欧几里得环(欧式环)：

定义：满足任意非零元素元素都对应于一个非负整数( δ : R ∖ { 0 } → N \delta:R \setminus \{0\}\to \N δ:R∖{0}→N)，且 ∀ a , b ≠ 0 : δ ( a b ) ≥ δ ( a ) \forall a,b\neq0:\delta(ab)\ge\delta(a) ∀a,b=0:δ(ab)≥δ(a), ∀ a , b ∈ R , b ≠ 0 , ∃ q , r ∈ R : a = q b + r , δ ( r ) < δ ( b ) ∧ r = 0 \forall a,b\in R,b\neq0,\exist q,r\in R:a=qb+r,\delta(r)\lt\delta(b)\wedge r=0 ∀a,b∈R,b=0,∃q,r∈R:a=qb+r,δ(r)<δ(b)∧r=0的整环R
特别地，在多项式环中， δ \delta δ即多项式的次数
求最大公因数可用辗转相除法。 g . c . d . ( a , b ) = g . c . d . ( a % b , b ) R g.c.d.(a,b)=g.c.d.(a\%b,b)R g.c.d.(a,b)=g.c.d.(a%b,b)R
任意两个元素有最大因和最小公倍。
∃ u , b ∈ R : g . c . d . ( a , b ) = a u + b v \exist u,b\in R:g.c.d.(a,b) = au+bv ∃u,b∈R:g.c.d.(a,b)=au+bv。特别地 g . c . d . ( a , b ) = 1 ⟺ ∃ u , b ∈ R : g . c . d . ( a , b ) = 1 g.c.d.(a,b)=1\iff \exist u,b\in R:g.c.d.(a,b) = 1 g.c.d.(a,b)=1⟺∃u,b∈R:g.c.d.(a,b)=1
推论：
- g . c . d . ( a , b ) = 1 ∨ g . c . d . ( a , c ) = 1 → g . c . d . ( a , b c ) = 1 g.c.d.(a,b)=1\vee g.c.d.(a,c)=1\to g.c.d.(a,bc)=1 g.c.d.(a,b)=1∨g.c.d.(a,c)=1→g.c.d.(a,bc)=1
- a ∣ b c ∨ g . c . d . ( a , b ) = 1 → a ∣ c a|bc\vee g.c.d.(a,b)=1\to a|c a∣bc∨g.c.d.(a,b)=1→a∣c
- b ∣ a ∨ c ∣ a ∨ g . c . d . ( b , c ) = 1 → b c ∣ a b|a\vee c|a\vee g.c.d.(b,c)=1\to bc|a b∣a∨c∣a∨g.c.d.(b,c)=1→bc∣a
每一个欧式环都是唯一因子分解环。特别地环 Z \Z Z和任意域上多项式环 P [ X ] P[X] P[X]是唯一影子分解环。
多元多项式环不是唯一因子分解环，但是也有唯一因子分解性

11）在任意域上P的多项式环 P [ X ] P[X] P[X]中有无限多个首一既约多项式，存在任意高次既约多项式。

12）容度：多项式系数的最大公因数 d = d ( f ) d=d(f) d=d(f)

若容度R上可逆，则称多项式为本原多项式
高斯引理：若R是唯一因子分解环， f , g ∈ R [ X ] f,g\in R[X] f,g∈R[X]，则 d ( f g ) ≈ d ( f ) ⋅ d ( g ) d(fg)\approx d(f)\cdot d(g) d(fg)≈d(f)⋅d(g)(精确到相伴是相等的)。故本原多项式的乘积依然是本原多项式
推论：若 f f f在 Z \Z Z上既约，则在 Q \mathbb{Q} Q上既约

13）艾森斯坦既约性判别法：若 Z \Z Z上首一多项式 f = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n f=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n f=Xn+a1Xn−1+⋯+an中 a 1 , … , a n a_1,\dots,a_n a1,…,an都能被某个素数 p p p整除，但 a n a_n an不能被 p 2 p^2 p2整除，则 f f f在 Q \mathbb{Q} Q上既约

注记：若首项不为1但是与 p p p互素时，依然适用

C3 分式域

1）整环分式域：在环 A A A上的元素对集合 A × A ∖ { 0 } A\times A\setminus\{0\} A×A∖{0}上定义等价关系： ( a , b ) ∼ ( c , d ) : a d = b c (a,b)\sim(c,d):ad=bc (a,b)∼(c,d):ad=bc。该等价关系下的商集 Q ( A ) Q(A) Q(A)称为环A的分式域

加法： ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd) (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)
乘法： ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , b d ) (a,b)(c,d)=(ac,bd) (a,b)(c,d)=(ac,bd)
单位元： ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1);零元： ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)
记 Q ( A ) Q(A) Q(A)中元素(即等价类)为 [ a , b ] [a,b] [a,b]，定义相同的运算。
- 注意到， Q ( A ) Q(A) Q(A)上的加法和乘法运算不依赖于等价类中代表元的选取，因为 ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) ⟹ { ( a , b ) + ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) + ( c , d ) ( a , b ) ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) ( c , d ) (a,b)\sim(a',b')\implies \begin{cases} (a,b)+(c,d) \sim(a',b')+(c,d) \\ (a,b)(c,d)\sim (a',b')(c,d)\end{cases} (a,b)∼(a′,b′)⟹{(a,b)+(c,d)∼(a′,b′)+(c,d)(a,b)(c,d)∼(a′,b′)(c,d)
- 在 Q ( A ) Q(A) Q(A)上，加乘运算满足域的定义
称为分式域的原因： ∀ [ a , b ] ∈ Q ( A ) : [ b , 1 ] x = [ a , 1 ] \forall [a,b]\in Q(A):[b,1]x=[a,1] ∀[a,b]∈Q(A):[b,1]x=[a,1]，定义单同态 f : A → Q ( A ) : a ↦ [ a , 1 ] f:A\to Q(A):a\mapsto[a,1] f:A→Q(A):a↦[a,1]。可知 x x x总是分式 f ( a ) / f ( b ) f(a)/f(b) f(a)/f(b)，习惯上，将其记为 a b \frac{a}{b} ba
注意到，当 A A A是域时， A ≅ Q ( A ) A\cong Q(A) A≅Q(A)
注记：若 A A A是域 P P P的一个子环，且 P P P中元素都可以写成分式形式 a / b a/b a/b，则 P ≅ Q ( A ) P\cong Q(A) P≅Q(A)。如KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Q at position 1: \̲Q̲(\sqrt{d})=Q(\Z…

2）有理函数域：多项式环 P [ X ] P[X] P[X]的分式域。其中 P P P是域。记为 P ( X ) P(X) P(X)

注意到， c h a r P = c h a r P ( X ) \mathrm{char}\ P=\mathrm{char}\ P(X) char P=char P(X)
P ( X ) P(X) P(X)中元素 f g \frac{f}{g} gf ， f f f称为分子， g g g称为分母。若分子分母互素，称既约分式
deg ⁡ f g = deg ⁡ f − deg ⁡ g \deg \frac{f}{g}=\deg f-\deg g deggf=degf−degg称为有理函数的次数，不依赖于代表元选择。若次数小于0，称真分式
定理：任意有理函数可唯一表示为一个多项式与一个真分式之和。
注记：所有真分式的集合 P 0 ( X ) P_0(X) P0(X)连通 P ( X ) P(X) P(X)上的加法和乘法构成一个没有单位元的环

3）最简分式： f g ∈ P ( X ) \frac{f}{g}\in P(X) gf∈P(X)中 g = p n , n ≥ 1 , p ∈ P [ X ] g=p^n,n\ge1,p\in P[X] g=pn,n≥1,p∈P[X]为既约多项式。

定理：每个真分式可以唯一表示为最简分式的和

C4 多项式的根

1）根：含单位元交换环 A A A是整环 R R R子环,使得 f ∈ A [ X ] , f ( c ) = 0 f\in A[X],f(c)=0 f∈A[X],f(c)=0的 c ∈ R c\in R c∈R称方程 f ( X ) = 0 f(X)=0 f(X)=0的根

贝祖(Bezout)定理： c ∈ A , f ∈ A [ X ] : f ( c ) = 0 ⟺ ( X − c ) ∣ f c\in A,f\in A[X]:f(c)=0\iff(X-c)|f c∈A,f∈A[X]:f(c)=0⟺(X−c)∣f
霍纳除法求 f X − c \frac{f}{X-c} X−cf：
- 设 f ( X ) = a 0 X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n , a i ∈ A , q ( x ) = b 0 X n − 1 + b 1 X n − 2 + ⋯ + b n − 1 f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n,a_i\in A,q(x)=b_0X^{n-1}+b_1X^{n-2}+\dots+b_{n-1} f(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an,ai∈A,q(x)=b0Xn−1+b1Xn−2+⋯+bn−1
  
  得 b 0 = a 0 , b k = b k − 1 c + a k , f ( c ) = b n − 1 c + a n b_0=a_0,b_k=b_{k-1}c+a_k,f(c)=b_{n-1}c+a_n b0=a0,bk=bk−1c+ak,f(c)=bn−1c+an
k重根： ( X − c ) k ∣ f ∧ ( X − c ) k + 1 ∤ f ⟺ f ( X ) = ( X − c ) k g ( X ) , g ( c ) ≠ 0 (X-c)^k|f\wedge (X-c)^{k+1}\nmid f\iff f(X)=(X-c)^kg(X),g(c)\neq 0 (X−c)k∣f∧(X−c)k+1∤f⟺f(X)=(X−c)kg(X),g(c)=0
定理：若 A A A是整环， f ≠ 0 , f ∈ A [ x ] f\neq0,f\in A[x] f=0,f∈A[x]有根 c 1 , c 2 , … , c r c_1,c_2,\dots,c_r c1,c2,…,cr，重数为 k 1 , k 2 , … , k r k_1,k_2,\dots,k_r k1,k2,…,kr，则 f = ( X − c 1 ) k 1 ( X − c 2 ) k 2 … ( X − c r ) k r g ( x ) , g ( c i ) ≠ 0 f=(X-c_1)^{k_1}(X-c_2)^{k_2}\dots(X-c_r)^{k_r}g(x),g(c_i)\neq 0 f=(X−c1)k1(X−c2)k2…(X−cr)krg(x),g(ci)=0。且 ∑ k i ≤ deg ⁡ f \sum k_i\le \deg f ∑ki≤degf
推论：若 A A A是整环， f , g ∈ A [ X ] f,g\in A[X] f,g∈A[X]在互异的 c 1 , c 2 , … c n + 1 c_1,c_2,\dots c_{n+1} c1,c2,…cn+1上取值相同，则 f = g f=g f=g

2）多项式函数：每个多项式对应于一个函数 f ~ : A → A : a ↦ f ( a ) \tilde{f}:A\to A:a\mapsto f(a) f~:A→A:a↦f(a),这些函数的集合构成一个环 A p o l A_{pol} Apol。称多项式函数环(或整有理函数环)

注记：p元有限域 F p \mathbb{F}_p Fp上多项式的函数等于约化多项式 f X p − X \frac{f}{X^p-X} Xp−Xf的函数，因为 g ( X ) = ( X p − X ) u ( X ) g(X)=(X^p-X)u(X) g(X)=(Xp−X)u(X)始终为0
A [ X ] → A p o l : f ↦ f ~ A[X]\to A_{pol}:f\mapsto \tilde{f} A[X]→Apol:f↦f~是一个环同构，这表明，给定 f ~ \tilde f f~，可以求出原先的 f f f
拉格朗日插值公式： f ( c i ) = b i , c i ≠ c j , i ≠ j f(c_i)=b_i,c_i\neq c_j,i\neq j f(ci)=bi,ci=cj,i=j，则 f ( X ) = ∑ i = 0 n b i Π k = 0 , k ≠ i n ( X − c k ) Π k = 0 n ( c i − c k ) f(X)=\sum_{i=0}^n b_i \frac{\Pi_{k=0,k\neq i}^n(X-c_k)}{\Pi_{k=0}^n(c_i-c_k)} f(X)=∑i=0nbiΠk=0n(ci−ck)Πk=0,k=in(X−ck)
牛顿插值公式： f ( X ) = u 0 + u 1 ( X − c 0 ) + ⋯ + u n ( X − c 0 ) … ( X − c n − 1 ) , u n f(X)=u_0+u_1(X-c_0)+\dots+u_n(X-c_0)\dots(X-c_{n-1}),u_n f(X)=u0+u1(X−c0)+⋯+un(X−c0)…(X−cn−1),un需要代入各 c i c_i ci求解

3）导数： f ′ ( X ) = n a 0 X n − 1 + ( n − 1 ) a 1 X n − 2 + ⋯ + a n − 1 f'(X)=na_0X^{n-1}+(n-1)a_1X^{n-2}+\dots +a_{n-1} f′(X)=na0Xn−1+(n−1)a1Xn−2+⋯+an−1。当 P = R P=\R P=R， f ′ ( X ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ~ ( x + Δ x ) − f ~ ( x ) Δ x f'(X)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\tilde{f}(x+\Delta x)-\tilde{f}(x)}{\Delta x} f′(X)=Δx→0limΔxf~(x+Δx)−f~(x)

导子：环 R R R上满足 D ( u + v ) = D ( u ) + D ( v ) ; D ( u v ) = ( D u ) v + u ( D v ) D(u+v)=D(u)+D(v);D(uv)=(Du)v+u(Dv) D(u+v)=D(u)+D(v);D(uv)=(Du)v+u(Dv)的映射 D : R → R D:R\to R D:R→R
莱布尼兹： D m ( u v ) = ∑ k = 0 m C m k D k u D m − k v D^m(uv)=\sum_{k=0}^mC_m^kD^kuD^{m-k}v Dm(uv)=∑k=0mCmkDkuDm−kv
复合求导： D f ( X ) = f ′ ( X ) D X Df(X)=f'(X)DX Df(X)=f′(X)DX。若 D X = 1 DX=1 DX=1则得到一般的微分算子 D = d d X D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X} D=dXd
记m重微分： f ( m ) f^{(m)} f(m)

4）重因式： c h a r P = 0 , f ∈ P [ X ] , f ( X ) = λ p 1 ( X ) k 1 … p r ( X ) k r \bold{\mathrm{char} P = 0},f\in P[X],f(X)=\lambda p_1(X)^{k_1}\dots p_r(X)^{k_r} charP=0,f∈P[X],f(X)=λp1(X)k1…pr(X)kr，称首一既约多项式 p i ( X ) p_i(X) pi(X)为 f f f的 k i k_i ki重因式

f f f有重根 c ⟺ f ′ ( c ) = f ( c ) = 0 c\iff f'(c)=f(c)=0 c⟺f′(c)=f(c)=0

推论： p ∤ n ⟹ X n − 1 p\nmid n\implies X^n-1 p∤n⟹Xn−1只有单根。因为 n X n − 1 nX^{n-1} nXn−1的根不可能是 X n − 1 X^n-1 Xn−1的根
引理：特征0的域中 deg ⁡ f ′ = deg ⁡ f − 1 \deg f'=\deg f - 1 degf′=degf−1，在有限域中不一定成立
定理： p ( X ) p(X) p(X)是 f ∈ P [ X ] f\in P[X] f∈P[X]的 k k k重既约因式，则 p ( X ) p(X) p(X)是 f ′ f' f′的 k − 1 k-1 k−1重因式，特别地， k = 1 k=1 k=1时， p ( X ) ∤ f ′ p(X)\nmid f' p(X)∤f′
推论： c h a r P = 0 \mathrm{char}P=0 charP=0则 f f f在某扩域 F ⊃ P F\supset P F⊃P中有 k k k重根 ⟺ \iff ⟺ f ( j ) ( c ) = 0 , 0 ≤ j ≤ k − 1 , f ( k ) ( c ) ≠ 0 f^{(j)}(c)=0,0\le j\le k-1,f^{(k)}(c)\neq 0 f(j)(c)=0,0≤j≤k−1,f(k)(c)=0
推论： f ( X ) = λ p 1 ( X ) k 1 … p r ( X ) k r , deg ⁡ f ≥ 1 f(X)=\lambda p_1(X)^{k_1}\dots p_r(X)^{k_r},\deg f\ge1 f(X)=λp1(X)k1…pr(X)kr,degf≥1，则 g . c . d . ( f , f ′ ) = p 1 ( X ) k 1 − 1 … p r ( X ) k r − 1 g.c.d.(f,f')=p_1(X)^{k_1-1}\dots p_r(X)^{k_r-1} g.c.d.(f,f′)=p1(X)k1−1…pr(X)kr−1

应用： g ( X ) = f g . c . d . ( f , f ′ ) = p 1 ( X ) … p r ( X ) g(X)=\frac{f}{g.c.d.(f,f')}=p_1(X)\dots p_r(X) g(X)=g.c.d.(f,f′)f=p1(X)…pr(X)可以通过欧几里得算法求出全部单因式，而不需要知道实际分解

5）韦达公式：若 f = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n f=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n f=Xn+a1Xn−1+⋯+an有根 c 1 , c 2 , … , c n c_1,c_2,\dots,c_n c1,c2,…,cn，则 a k = ( − 1 ) k ∑ i 1 < i 2 < ⋯ < i k c i 1 c i 2 … c i k a_k=(-1)^k\sum\limits_{i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k}c_{i_1}c_{i_2}\dots c_{i_k} ak=(−1)ki1<i2<⋯<ik∑ci1ci2…cik

小证： f = ( X − c 1 ) ( X − c 2 ) … ( X − c n ) = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n f=(X-c_1)(X-c_2)\dots(X-c_n)=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n f=(X−c1)(X−c2)…(X−cn)=Xn+a1Xn−1+⋯+an比较系数

6）对称函数：函数取值与变元次序无关。形式化表述： ∀ π ∈ S n , π ∘ f ~ = f ~ ( x π ( 1 ) , … , x π ( n ) ) = f ~ \forall \pi\in S_n,\widetilde{\pi\circ f}=\tilde{f}(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})=\tilde{f} ∀π∈Sn,π∘f =f~(xπ(1),…,xπ(n))=f~

特别的，称 s k ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 x i 2 … x i n s_k(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{1\le i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_n} sk(x1,x2,…,xn)=1≤i1<i2<⋯<ik≤n∑xi1xi2…xin为初等对称函数。韦达公式可改写为 a k = ( − 1 ) k s k ( c 1 , … , c n ) a_k=(-1)^ks_k(c_1,\dots,c_n) ak=(−1)ksk(c1,…,cn)
威尔逊定理： ( p − 1 ) ! + 1 ≡ 0 ( m o d p ) ⟺ p i s p r i m e (p-1)!+1\equiv0(\mod p)\iff p \ is \ prime (p−1)!+1≡0(modp)⟺p is prime

推导：必要性：有限域 F p \mathbb{F}_p Fp上 X p − 1 = ( X − 1 ) … ( X − ( p − 1 ) ) X^p-1=(X-1)\dots(X-(p-1)) Xp−1=(X−1)…(X−(p−1))。充分性： p = p 1 p 2 ⟹ p 1 ∣ ( p − 1 ) ! p=p_1p_2\implies p_1|(p-1)! p=p1p2⟹p1∣(p−1)!

$6 多项式【提纲】

§6 多项式

C1 多项式环

C2 多项式因式分解

C3 分式域

C4 多项式的根

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