经典的动力学理论认为：任何一个系统只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉晋拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去和将来的一切情况。这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。

概率论和统计的概念引入物理学后，科学思想发生了重大变化，促使科学家从决定论的那种“经典科学缔造的神话”中走了出来。概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而有许多偶然的随机的因素，人们只从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。对此，历来有着尖锐的争论。爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，“上帝”不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道和根本看不到的地方。

决定论和非决定论，动力学规律和统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。

混沌理论描述的系统，其动力学方程是完全确定的，然而这种系统的长期演化行为存在着随机性。在这里，确定性的动力学规律描述的系统出现了统计性结果，使矛盾的两个方面得到了辩证的统一。

人们对混沌现象的研究已有一百多年的历史，但是它不象相对论和量子理论有自己理论的公理性假设，它只是用已有的动力学理论来研究一些复杂系统，使人们看到了自然界的更为复杂的内容，揭示了决定论与概率性之间的内在联系，使人们观察世界的观点和方法比以前有了更进一步的发展，使人类对自然世界的抽象更接近于自然界本身

混沌是决定性系统的内在随机性，这句看来似乎是对决定论和概率性的调和性论述，无论对于持决定论观点还是概率统计性观点的人来说都有点难于理解。但这句话的确揭示了复杂世界的本质，因而对混沌理论的认识将会改变人们观察和思考世界的基本观点，对于当代的大学生，如果不了解混沌，不能不说是知识和思维结构上的缺憾。当前已有一些大学开设了混沌的入门课程，并有配套的软件，但这些软件涉及的方程较少，而且方程的可视化模型简单，软件的交互性较差，对于帮助学生理解“决定性系统的内在随机性”这句话存在着许多局限性，鉴于此，本人在搜集大量素材的基础上，以“决定性系统的内在随机性”为核心，以Logistic映射为线索，深入浅出了介绍了状态空间，吸引子，混沌的发展历史，混沌的基本特征，基本概念，倍周期分岔，李雅晋诺夫指数，费根鲍姆常数，混沌的特征，通向混沌之路，混沌的应用及哲学意义进行了详细的论述，祥述了对应的软件的计算机算法，并设计了一套所有参数均可由使用者改变的多媒体教学软件，以帮助理解有关的概念。

§2.1 混沌的发展历史

过去，人们一直认为宇宙是一个可以预测的系统。后来天文学家在研究三体问题时发现，用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的是随机的结果，这意味着：整个太阳系是不可预测的，用牛顿定理，无法推算出在某一时刻行星运动的准确位置和速度。即在确定性的系统中出现了随机现象。

1927年，丹麦电气工程师Van del Pol 在研究氖灯张弛振荡器的过程中，发现了一种重要的现象并将它解释为“不规则的噪声”，即所谓Van del Pol 噪声。二战期间，英国科学家重复了这一实验并开始提出质疑，后来的研究发现Van del Pol 观察到的不是“噪声”，而是一种混沌现象。

1959年，美国的斯墨尔实现了第一个产生混沌的模型，将一个周期性系统转化为混沌。

1963年，麻省理工学院的气象学家洛伦兹（E. Lorenz）在研究大气环流模型中，对一个具有三变量的方程组进行了计算，数值模拟所得的结果出人意料，通过对所得结果的深入分析，绘制出状态空间图（图2.1.1），洛伦兹发现混沌运动的两个重要特点：（1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的，而是局限在状态空间的某一几何体（混沌吸引子）上。洛伦兹之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。

1927年，科学家在耗散系统中正式地引入了奇异吸引子的概念(strange attractor),随着计算机图形学的发展，生成了如上所述的洛伦兹吸引子、Henon吸引子等奇异吸引子的计算机图形。

1975年，约克（J.York）李天岩(T.Y lie)提出了混沌的科学概念。70年代中期，人们不但在理论上对混沌作更深层次的研究，而且努力在实验室中找寻奇异吸引子。约克在他的著名论文“周期3意味着混沌”中指出：在任何一维系统中，只要出现周期3，则该系统也能呈现其它的周期，也能呈现完全的混沌。

1976年，迈依(R.May)将混沌引入生物学，他指出：生态学中的一些简单模型，具有极其复杂的动力行为，其中包括分岔，序列和混沌。混沌理论为生物学的发展打开了一个新的窗口。

1978年，费根鲍姆（M.Feigenbaum）通过对迈依和约克的逻辑斯蒂模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了费根鲍姆收敛常数d 和标度常数a ，它们是和p 、e、c    一样的自然界的普适性常数。但是，费根鲍姆的上述突破性进展开始并未立即被接受，其论文直到三年后才公开发表。费根鲍姆的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算。使混沌学的研究从此进入蓬勃发展的阶段。

人们认为，20    世纪科学上载入史册并为人们永远铭记的有三件事：相对论、量了力学和混沌理论。相对论消除了绝对空间和时间的幻象，量子力学打破了可控测量过程的梦，而混沌理论则是彻底解消了拉普拉斯关于决定论式的可预测性的幻想。

§2.2 非线性与确定性系统

§2.2.1 “线性”与“非线性

“线性”与“非线性”首先用来区别函数y= f (x)对自变量x的依赖关系。线性函数的一般形式为： y=ax+b 其图象是一条直线（图2.2.1）。其它一切高于x一次方的多项式函数和其它函数，都是非线性的，其图象不是直线。最简单的非线性函数是抛物线。 y=ax2+bx+c 如图2.2.2所示。其中a、b、c为参量，但它们并不同样重要，a对方程的性质具有决定性作用， 若 a=0 曲线则退化为直线，函数退化为线性函数，b和c可以改变曲线的形状。 “线性”与“非线性”关系如下： 1、线性是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏离，线性关系是水涨船高，但一般只适用于自变量的一定范围，不能无限制地涨上去，而非线性才能反映“是非曲直”、“过犹不及”、“一波三折”等复杂行为。 2、线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则有相互作用。例如：如果x代表某种昆虫的数目，每个昆虫产生 a 个卵，其总数：

由线性关系决定，然而x 个昆虫由于争夺食物而咬斗，咬斗事件的数目可能有：

种组合。这就是非线性关系了。相互作用使得整体不再简单的等于部分之和，而可能发生不同于“线性叠加”的增益或亏损。

3、线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。

对于一个遵从欧姆定律的线性电路、电压V、电流I和电阻R的关系是：

V=IR （5）

如果I是频率固定的交流信号I=I cos(ωt)，电压V=RI cos(ωt)也只含有同样的频率ω。然而，如果电压电流关系中出现了非线性项，例如，

V=RI+R₁I² （6）

则对于同样的输入 I=I₀cos(ωt)输出为：

电压V中出现了输入信号中没有的频率为0和2ω的信号，出现了“无中生有”的现象。只要存在任意小的非线性（式（6）中R₁<<R），就会出现和频、差频、倍频等成分，但这些新频率成分不是非线性强烈到一定程度才突然出现的阀值现象。

4、非线性是引起行为突变的原因，对线性的细小编离，往往并不引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，靠修正线性理论去描述和理解。然而，非线性大到一定程度时，系统行为可能发现突变。在前面的例子中，这时输出信号可能突然出现某些分频，如ω/2、ω/4，甚至ω/3。非线性系统往往在一系列参量阀值上发生突变，每次突变都伴随着某种新的分频成分，最终进入混沌状态。

§2.2.2 确定性系统

从数学的角度来看，只要描述系统行为的（无论是线性还是非线性）方程中不含随机变量，则这种系统就是确定性系统。因此，只要方程中不含随机变量，则不论是线性系统还是非线性系统，它们都是确定性系统，对于确定性系统，如果已知其初始条件，我们能通过确定性函数计算出系统在将来任一时刻的精确状态。18世纪法国著名数学家拉普拉斯的一段名言：“设想有一位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝集到一个公式之中，那对他来说，没有什么事情是不确定的，未来和过去一样他都可以算到一清二楚。”这就是说：只要有一个宇宙方程就可以知道宇宙的一切。这段话把确定性理论的中心思想发挥得淋漓尽致。

§2.3 状态空间、周期轨道与吸引子

§2.3.1 状态空间

在动力系统理论中，系统的基本情况称为状态。状态随时间而变化的规律称为动态特性。这个变化的过程可用状态空间（相空间）形象地表示出来，状态空间中的每一个点代表系统一种可能的状态。在状态空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，而系统演变的情形可通过在状态空间移动的点来描绘。动力系统随时间演变，其相点在状态空间中将描绘出一个轨迹，我们称之为相空间中的轨道。若时间连续则称之为“流”；若时间是离散的则称之为“映射”。

状态空间法（相空间法）是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图形的方法。引入状态空间方法最大的优点是便于在研究中观察系统的演化规律。最简单的例子是单摆，它由两个变量（位移和速度）确定其运动状态，在状态空间中用（位移速度）平面上的点表示其状态的变化过程。

§2.3.2 吸引子及其分类

吸引子（Attractor）是状态空间一种用以刻划状态空间中的长期行为的几何形式，是耗散系统长时间演化的最终归宿。吸引子可分为定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和奇异吸引子四类。

第一类吸引子定常吸引子，具有这种吸引子的系统在状态空间中其轨道趋于一个固定点，不管系统从什么初始状态出发，其长期演化的归宿是恒定不变的，总是停在相空间中的一个固定点上。这是最简单的一类吸引子。如图2.3.1(a)所示。

第二类吸引子是状态空间中的闭环，或称极限环，它描述的是稳定振荡，例如：钟摆的周期运动和心脏的跳动。如图2.3.1(b)所示，是刻划周期行为的吸引子。这种系统从某一初始状态出发，经过一个短暂的过程后直接进入周期运动，一旦系统进入周期运动，在相空间中，其轨道就固定在闭环上，系统作周期运动，其状态空间的相图就沿闭环周而复始，永远循环。

第三类吸引子为环面吸引子，或称拟周期吸引子。它描述复合振荡的拟周期行为，它的轨道在状态空间中的一个环面上绕行而且永不重复永不相交，如图2.3.1( c )所示。

为了理解拟周期运动，我们看图2.3.2。设想在某动力系统中频率分别为w ₁、w ₂的两个周期运动，以它们的相位q ₁，q ₂为变量作二维相图，若把图2.3.2(a)、(b)中的相图的对边粘在一起（BC粘到AD上，形成圆筒，再将圆筒两端AB和CD粘在一起）就形成了环面。图2.3.2(a)表示一曲线在环面上横绕4圈得以封闭，这意味着包含两个周期运动，它们的频

率比；图2.3.2(b)表示一曲线在环面上竖绕5圈得以封闭，它们的频率比。

但若如上两频率w ₁、w ₂彼此不可公度，即为无理数，那么，无论沿环面横绕（或竖绕）

多少圈，轨道也不会闭合，轨线将稠密地分布在环面上，永远不重复已走的路。这是一种非周期运动，但又是由两个周期运动合成的，叫做拟周期（或准周期）运动。

    第四类吸引子是奇异吸引子，又称混沌吸引子。洛仑兹吸引子是它的第一个观察到的实例。它具有复杂的拉伸，折迭与伸缩的结构，可以使指数型发散保持在有限的空间内，就好象厨师揉面制造拉面一样，其过程如下：首先是“拉伸”，面团的近邻部分指数规律拉长，数学上称之为发散。然后，再将拉伸的“面团”折迭回来。随后又是拉伸、折迭，不断重复这一操作，反复进行,如图2.3.1(d)。

吸引子的产生可以解释为：耗散系统在其运动与演化的过程中，相体积不断收缩的结果。收缩是由于阻尼等耗散项的存在所致。吸引子的维数一般要比原始相空间低，这是由于耗散过程中，消耗了大量小尺度的运动模式，因而使得确定性系统长时间行为的有效自由度减少。如果系统最终剩下一个周期运动，则称该系统具有极限环吸引子。二维以上的吸引子，表现为相空间相应维数的环面。只有耗散系统中的混沌才会产生奇异吸引子。但并非只有耗散系统才出现混沌。如三体问题不是耗散系统但同样能产生混沌。

§2.4 倍周期分岔与混沌

§2.4.1 混沌的含义

混沌是非线性的确定论系统所表现出的内在随机行为的总称。

时至今日，统计物理和量子力学已在自然科学领域里有了不争的牢固地位，今天我们在寻求客观世界所遵循的科学规律的过程中，经常使用“随机性理论”。与决定论完全不同，对于随机性理论，给定初始条件之后，只能对物体的状态变化作概率的描述。确定性理论与随机性理论的区别还可以在“状态空间（即相空间）”里来看。如果物体状态的变化是服从确定性理论，那么，在状态空间中，一系列确定的状态代表点连续起来，便会给出一条明确的“相”轨道，但如果是服从随机性理论的，就只能给出状态代表点的“云”，点云密布之处，其相应状态出现的概率大。因此人们似乎不该再特别信奉拉普拉斯的那段关于确定性理论话了。

人们曾以为确定论与随机论之间有不可逾越的鸿沟，可是当对复杂系统进行整体研究时发现：尽管该系统的动力学模型是确定的微分方程或离散变量的映射，但在一定条件下，却会出现随机性状态。这种随机性的出现并非来自外部干扰，而是产生于系统内部的非线性；这种随机性又表观的，因为在随机性中蕴涵着规律和有序，当系统表现出这样一种既不是完全确定的，又不是完全随机的形态时，我们称它处于“混沌态”。

1963年美国MIT的气象学家洛伦兹在美国的《大气科学》发表了一篇题为《确定性的非周期流》的论文，这是世界上第一篇发现混沌的论文，论文题目也可以说是混沌的含义。而“混沌（chaos）”作为非线性动力学中的一个学术术语，是美国马里兰大学的数学家李天岩（T.Y.Li）和他的老师约克（J.A.Yorke）引进的，1971年12月《美国数学月刊》发表了他们题为《周期三意味着混沌》（“Period Three Implies Chaos” ）的文章。从此，混沌就成了非线性的确定论系统所表现出的随机行为的总称，混沌理论则要研究确定论系统的这种表观随机性，并探究它与系统的确定性机制是如何沟通的。

本节以Logistic映射为例，看看一个系统如何从具有静态吸引子的状态演化为混沌状态。

§2.4.2 Logistic映射

在自然生态上，我们称人类或昆虫种群的个体数量为“人口”或“虫口”，其多少取决于食物来源，竞争者，捕杀者等诸多因素。人们已建立了各种模型来计算和预测人口或虫口数。马尔萨斯在1798年发表的《人口论》是最著名的一个，它是一个线性迭代方程（差分方程）：

X_n+1=(1+r)X_n （4.1）

其中r为人口（虫口）增长率，若以X₀作为起始（第零代）人口（虫口）数，则：

Xn=(1+r)ⁿX₀

这就是说，人口（虫口）数按几何级数增长，这一模型过于简化，没有考虑环境条件的限制因素，因此计算出的人口（虫口）数增长得太快，并不符合实际情况，1838年，维赫斯特（Verhulst）提出了一个修正模型，在式（4.1）中加入一个修正项，成为：

（4.2）

所加入的是反映环境限制因素的非线性项，系数b的数值很小，当人口（虫口）较少时，此项可忽略不计，就还原成马尔萨斯模型，而人口（虫口）数变大后，它将限制人口增长。

在（4.2）式令m =1+r，则：

再令，则上式变为：

（4.3）

此式称为Logistic Map方程(或虫口模型)是一位比利时数学家建立的。

在研究此方程的特性之前，我们先来确定其定义域。因为人口数不能为负，故x_n>0，又根据（4.3）式的迭代关系得(1-x_n)>0，因此x_n<1，合之则为0<x_n<1；又方程（4.3）的极大值x_n+1出现在处，此极大值，而x_n+1<1，因而μ<4；另外如人口增长率r为正，则μ=1+r>1，因此1<μ<4。

§2.4.3 倍周期分岔走向混沌

对于式（4.3），最直观的研究方法是图解法，如图2.4.1所示，在X_nOX_n+1平面上作抛物线x_n+1=μx_n(1-x_n)，和直线x_n+1=x_n，在X_n轴上取初始值x₀，作竖直线，交抛物线于一点（x₀，x₁），从此点作水平线，交对角线于一点（x₁,x₁），再从交点作竖直交抛物线于（x₁,x₂）点，如此反复可以作出x₃, x₄, …, x_n,…。

这种方法虽直观，但不精确，不便于理论分析。

为此，我们用解析分析和数值计算相结合的方法来分析迭代方程（4.3）的性质。

1、实际上方程（4.3）中若0<μ<1，则有x_n+1<x_n，因而有。

2、选参数u=2.5，x₀=0.5开始迭代（计算迭代结果的方法很多，如手工计算、用计算器计算、编程计算等，最简便快速的方法是用EXCEL表格的自动填充功能），得到如下一串数值：

x₁=0.625;

x ₂=0.5859375;

…

x ₂₈=0.599999998;

x ₂₉=0.6;

x ₃₀=0.6;

…

我们发现迭代有限次（x₂₉）以后的值不再变化，而等于一个常数0.6。即方程（4.3）有定态解。下面我们来推导静态解与μ的关系。

达到静态解后有x_n+1=x_n，记此值为x*，则代入（4.3）得：

x*=m x*（1-x*）

解得：

以上讨论的两种情况，多次迭代的结果是与初始值无关的常数，显然系统具有定常吸引子（）。

方程（4.3）的定态解及定态解（定常吸引子）与μ的关系见图2.4.2和图2.4.3。

3、既然定态解与初始值无关，我们取定初始值x₀，不断增加μ值，来看看系统的演化行

为，我们发现当μ>3时，不动点的解失稳，迭代将趋于两个稳定的不动点，，如图2.4.4所示，有：

（4.4）

（4.5）

对于虫口来说就是：若昆虫一年一代，且无世代交替，那么今夏虫数是，明夏便是，次年又是，……如此轮回。显然系统此时具有二周期吸引子。

下面我们计算两周期的μ的起始值。

由（4.5）-（4.4）解得：

即：

将此式代入（4.4）可得：

令：，则：

解得：

其中应有，即：μ²-2μ-3>0。

由此可得：μ>3或μ<-1

由于μ<-1超出定义域，因此解得μ>3。两个解分别为：

；

方程（4.3）的二周期解(周期吸引子)与μ的关系见图2.4.5。

4、继续增大μ值，当μ大于3.449时，趋向于在四个值上轮流取值，随着μ的增大，在μ=3.544，3.564，……，可依次形成周期8，周期16…的振荡解，我们把这种系统取值个数成倍增加的情况称为“分频”或“倍周期分岔”，分岔图如图2.4.6所示。当μ达到极限值时，系统的解是的周期解，即是一个非周期解，系统进入混沌态。

在混沌区内，一方面每有x_n就有唯一的x_n+1，所以仍是确定论的；另一方面，稍稍变动一下初始值，迭代多次所得的结果之间就会相差很大，几乎相等的初始值却会得到不同的长期效果，表现出对初始值的敏感性，我们称这种对初始值的敏感性为“蝴蝶效应”。

另外我们从图2.4.7(计算机数值计算的结果)可见，混沌区内是有精细结构的，特别是在时，出现一个周期3的解，这是一个极其特殊的解。

1964年，苏联乌克兰数学家萨尔可夫斯基（A.N.Sharkovskii）把所有自然数按一特定规律予以排列：

3<5<7<…<3´ 2<5´ 2<7´ 2<…<3´ 2²<5´ 2²<…<2³<2²<2<1 （4.6）

这里的数学记号读作“领先于”，如“3<5”读作3领先于5。任何整数p和q都在萨尔可夫斯基序列中有确定的位置。萨尔可夫斯基证明，如果在一个一维映射中存在着周期p轨道，则一切满足p<q的q周期轨道也都存在。换句话中一切在序列（4.6）中排在p后面的周期都存在。3领先于一切整数，自然导致李天岩和约克的定理：周期3意味着混沌。

与Logistic类似的作为虫口模型的一维非线性映射还有以下几种：

（4.7）

（4.8）

（4.9）

式（4.7）（4.8）（4.9）的映射分岔混沌示意图如图2.4.8，图2.4.9，图2.4.10

图2.4.8 图2.4.9

图2.4.10

2.4.4 分岔与混沌的计算机算法

由于绘图时要确定屏幕上的点(x,y)与(m , x_n)的映射关系，因此我们得先知道(m , x_n)的取值范围，下面我们来讨论(m ,x_n)的取值范围。

1．x_n+1=m x_n(1-x_n)

由上一节讨论可知：0≤m ≤4，0≤x_n≤1

2．x_n+1=1-m x_n²

令：y=1-ux²，求得：y_极大=1，则y_最小=1-m 。

则在x_n+1=x_n平面上，应有：-y_最小=y_最大

故m =2

则 0<m <2, -1<x_n<1

3．x_n+1=m sinp x_n

由正弦函数的性质得：-u<x_n+1<m

4．

显然有：x_nmin=0

① 令y=xem ^(1-x)， 则令y'=0有；

y'=em ^(1-x)-m xem ^(1-x)=0

解得:

即时，取得极值

由于y>0，且处处可导则令极值方程为：

由上式可知：当m >1时，y'>0即极值递增

②：又若m <1，则

i: x₀=1Þ x_n=1

ii: x₀>1Þ x_n+1<x_n

iii: x₀<1Þ x_n+1>x_n

由（ii）,(iii)可知，x_n® 1(x_0¹ 1)

③ 为了观察清晰方便，若uÎ (0,1)可取x_max=2。

故有：

为了直观研究分岔与混沌(精细结构)，下面给出其计算机算法：

1：设置映射方程类型，控制参数[m _min,m _max],初始值x₀以及绘图区域；

2：根据给定的控制参数 m 的变化范围[m _min,m _max],计算x_n的取值范围[x_min,x_max]；

3：由[m _min,m _max]、[x_min,x_max]及给定的绘图区域，计算(m , x_n)与屏幕上的点(x,y)的对应关系，并画出坐标轴，标注数字；

4：对某个m 值，从初始值x₀出发迭代100次(或更大)，使其迭代值稳定到吸引子上；

5：对此m 值继续迭代一次，在屏幕上对应于(m , x_n)的位置绘点；

6：重复第4、5步300次(或更多)，描绘出此m 值的吸引子；

7：根据 [m _min,m _max]和给定的绘图区域，将m 的变化区间离散化为多个m _i∈[m _min,m _max](i=0,1,2,…)，对每个m _i执行第4、5、6步，绘出[m _min,m _max]内的吸引子图象。

8：若为局部放大图，则根据现有绘图区域和所框区域，计算[m _min,m _max] 和[x_min,x_max]，然后直接执行第3、4、5、6、7步。

几点说明：

1：若给定的m 值为一个确定值(即m _min=m _max)时，其吸引子可能为一个点(静态吸引子)，或几个点(周期吸引子)，或一段或几段垂直于m 轴的线段(拟周期吸引子或混沌吸引子)。但为了观察方便，若给定m _min=m _max，仍然在整个区域内绘图，则其图形将是一条平行于m 轴的直线段(静态吸引子)，或有限几条直线段(周期吸引子)，或一个或几个带形区域(拟周期吸引子或混沌吸引子)。

2：为了观察局部细节，可用鼠标框定区域，然后将其放大。

方法是：在已绘制的图形上按住鼠标不放，拖动鼠标，屏幕上将会出现一虚线框，放开左键，将鼠标移动到框定区域内，当出现放大镜光标时，单击左键既自行放大。

3：放大精度理论上为无穷大，但实际上受到计算机浮点运算精度的限制。

该算法的要点是：当迭代过程稳定在吸引子上以后，开始在对应于坐标点（m ，x_n）的位置上绘点(为了保证给出的是完整的分岔和混沌图，需要选择适当的迭代初始值)。

使用配套软件可以研究混沌吸引子的许多细节，对于进行复杂系统的理论研究，将提供形象的可视化图案和新的启示。下面是几张局部放大图及其参数说明。

图2.4.11

§2.5 蝴蝶效应与李雅普洛夫指数

§2.5.1 “蝴蝶效应”的含义及来历

“蝴蝶效应”来源于洛仑兹在华盛顿科学进步协会一次大会上的学术报告：“Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Taxes?”，其意思是：巴西的一只蝴蝶拍动一下翅膀可能会引起美国德克萨斯的一场龙卷风，这是对长期天气预报不可能的形象描述。

洛仑兹是60年代在美国MIT工作的气象学家。他当时有一台叫做“皇家马克比”（Royal McBee LGP-300型）的真空计算机，1960年他从旋转水桶实验总结出包含12个方程的联立方程组，建立了一个仿真气象模型。洛仑兹相信，尽管气候变化多端，但毕竟遵守经典力学规律，只要输入必要的初始数据，他的计算机就对这12个方程进行硬碰硬的计算，终究会沿着一条确定论的道路把气象奥妙揭示出来。

而事实并非如他所料。1961年冬季的一天，洛仑兹在自己的计算机上已算得其仿真气象模型的一个解，但他还想知道此解随时间变化的长期行为。为了省时，他不再从头算起，而是把前次计算中打印机记录下来的中间数据当作初始值输入，然后走下大楼去喝啡啡。一小时后，他回到计算机旁，本指望计算机会先重复给出上次计算的后半段结果，然后接下去算新的，但事实让他大吃一惊。这次计算只有一小段与上轮计算是重复的，随后就出现越来越大的偏离，罗伦兹首先闪过的念头是：他常出故障的计算机准又坏了。但他割然领悟，问题并不是出在计算机而是输入的数字！

自公理化物理学理论体系诞生以来，科学家们普遍认为：知道了一个系统的演化规律，及近似的初始条件，那么，通过计算机，就能得到近似于这系统真实状态的解。也就是说：系统的长期演化过程中，由于事物运动本身的收敛性，极小的影响或差别可以忽略不计，因此在计算机上近似准确的输入似乎应当给出近似准确的输出。

洛仑兹的计算机存储的是六位十进制数，譬如是0. 536,216但打印出来的只有三位：0.536，正是按照上面提到的传统思维方式，他认为千分之几的误差无关紧要，但他的方程组并不具有想象中的“收敛”行为，而是对于初始值高度敏感。

洛仑兹把这种初始敏感性称为“蝴蝶效应”。其实，对初始条件的敏感性并非一个全新概念，中国有成语：差之毫厘，失之千里；千里之堤溃蚁穴等等。只是我们现在要研究这种初始敏感性的科学意义。

“蝴蝶效应”是混沌系统的主要特征之一。

让我们以Logistic Map为例来，看看“蝴蝶效应”的一个具体例子。

在方程x_n+1=1-ux_n²中取u=3.6，x₀=0.50，x₀ˊ=0.500l，其迭代结果的光滑连线图如图2.5.1所示，初始值仅相差10^-4，但经过12次迭代后两条曲线开始分开，出现明显差异。这是混沌运动的一个基本特征。

图2.5.1 蝴蝶效应示例(x_n+1=1-m x²_n)

下面是绘制蝴蝶效应的算法描述：

1：设置映射方程类型，控制参数m ，初始值x₀，初始差值△₀，总点数nPoints，绘图区域；

2：根据给定映射方程和控制参数m ，计算x_n的取值范围[x_min,x_max];

3：根据[x_min,x_max]和给定需要绘制的总点数nPoints，以及给定的绘图区域，计算(n,x_n)与屏幕上的点(x,y)的对应关系,并绘出坐标轴、标注数值；

4：依次取n=0,1计算(n,x_n)并在屏幕上对应的坐标位置绘点；

5：从绘制第三个点开始，每次取其前面的两个点和刚计算出来的点(共三个点)的值，计算它们对应的二次曲线方程，用光滑曲线连接已绘制的点(连接时要根据前面已绘制曲线的斜率和当前曲线斜率在连接点的关系，对曲线方程进行必要的修正，以保证连线尽可能光滑)；

6：依次取n=2,…,nPoints,执行第5步，绘制出一条曲线；

7：根据给定的初始差值△₀，计算新的控制参数x₀= x₀+△₀，然后执行第一到第六步，绘制第二条曲线(配套软件中绘制的两条曲线使用了不同的颜色)。

几点说明：

1：如果只执行以上的1、2、3、4、5，6步，则可绘制给定 m 和总点数nPoints的光滑连线图；

2：如果只执行以上的1、2、3、4、5，6步，而且不用光滑曲线而用直线直接连接相邻的两个点，则可绘制给定 m 和总点数nPoints的折线图；

3：如果只执行以上的1、2、3、4步，在第四步中依次取n=0，1，2，…，nPoints，则可绘制给定 m 和总点数nPoints的散点图；

4：以上3点说明中，在第一步中均不需设置初始差值△₀。

§2.5.2 李雅普洛夫指数

现在我们来研究这种特征的数学描述李雅普诺夫（Lyapunov）指数。

设两相差极小的初始值分别为x₀和x₀+△₀，它们迭代一次后的误差为：

上式中因△₀很小，f(x₀+△₀)只展开到泰勒级数的一次项，略去了其高次项，f’(x)是f(x)的一阶导数，迭代n次后的距离差为：

（5.1）

这里fⁿ(x)表示函数f(x)自己嵌套n次（对于Logistic Map则有fⁿ(x)=x_n）例如：

根据复合函数的链微分法则有：

（5.2）

这里的x_i=ux_i-1(1-x_i-1)是经过i次迭代的结果值。

一般来说，对初值敏感的轨道会按指数函数迅速分离开，可以写成：

（5.3）

这里指数 l 刻划相邻轨道的分离速度。如果 l <0，△n→0，两条轨道不会分离；只有当 l >0，才表示初值的细微变化要迅速放大，当n→¥ 时，式（5.3）定义的 l 就是李雅普诺夫指数，根据式（5.1），（5.2），（5.3）可得：

则：

这个定义很便于数值计算，对虫口模型四个函数的分岔图及李雅普诺夫指数的对照图如图2.5.2，图2.5.3，图2.5.4，图2.5.5所示：

图2.5.2 x_n+1=1-m x_n² 图2.5.3 x_n+1=m sinp x_n

图2.5.4 x_n+1=m x_n(1-x_n) 图2.5.5 x_n+1=x_nem ^(1-xn)

从以上四个图中可以看出，周期窗口(每个映射都有周期三窗口)对应的李雅谱诺夫指数为负，而混沌区的李雅普诺夫指数为正。其实我们在计算中只取了n=300，如果把n取得更大，而且把参数区间分得更细，图中还会看到更多的周期窗口处有更深的下降，同时混沌区的李雅普诺夫曲线的包络线随参量上升。

对于有多个自由度的系统，李雅普诺夫指数也有多个，原则上可以从数学模型或实验数据出发进行估算，混沌系统至少有一个李雅普诺夫为正。

下面介绍李雅普诺夫指数可视化图形生成算法：

1：设置映射方程类型，控制参数变化范围 [m _min, m _max]，初始值x₀，绘图区域；

2：根据给定映射方程和控制参数，计算x_n的取值范围[x_min,x_max];

3：根据[m _min,m _max]和[x_min,x_max]，以及给定的绘图区域，计算(m ,x_n)与屏幕上的点(x,y)的对应关系,并绘出坐标轴、标注数值；

4：将区间[m _min, m _max] 根据绘图区域离散化为一系列m _i∈[m _min,m _max](i=0,1,2,…)；

5：依次取i=0,1,2, …,计算（m _i，x_n）并在屏幕上的对应位置绘点。

几点说明：

1：对于m _min=m _max的情况，其李雅普诺夫指数应为一个点，但为了观察方便，仍然在整个区域内绘图，则其图象为一条平行于m 轴的直线；

2：可以对所绘图形进行局部放大，其操作方法同精细结构(分岔与混沌图)局部放大的方法相同；

3：放大精度理论上为无穷大，但实际上受到计算机浮点运算精度的限制。

在配套的软件中可以观察和研究李雅普诺夫指数与参量的关系及其精细结构。

§2.6 洛仑兹吸引子

1963年，洛仑兹在研究大气环流模型时，采用的是下面的具有三个变量的常微分方程组

其中s ，g 和b为正的实参数，洛仑兹方程是确定性的，其中没有任何足以给计算结果带来噪声的项。但是数值计算结果却表明在g =28时系统为混沌系统。

洛仑兹的大气模型是由无限大平板间流体的热对流方程简化而得到的，它是一个三元非线性常微分方程组，其中有三个参数b，s 和g ，改变g 的值研究该模型可以看到分岔以及混沌现象。当g =28时，该模型的解是混沌的。这里固定g =28，观察此时的洛仑兹奇异吸引子。

由方程组可得：

dx=s (y-x)dt

dy=(g x-y-xz)dt

dz=(xy-bz)dt

s =10 ， b= ，g =28

将其离散化，且取步长为h，则有：

根据上面离散化的方程组，选择一组初始值，应用递推方程组求出一组新值，并重复迭代，抛弃前N次迭代值，以确保迭代值对应的状态已落到吸引子上，然后由新迭代值确定的坐标绘出吸引子，当定出一个适当的总迭代次数和迭代步长之后，就可以用此算法产生完整、清晰的洛仑兹奇异吸引子图形。由于迭代结果的是三维坐标，为得到吸引子的图形，还要沿不同投影方向投影。其混沌吸引子如图2.6.1所示。

(a)沿X轴投影 (b)沿Y轴投影 (c)沿Z轴投影

图2.6.1 洛仑兹奇异吸引子

吸引子的轨道在空间是不会自相交的，因为如果其轨道自相交，则轨道就会从这个交点出发循环不断地重复下去。图中看到的相交部分只是空间轨道投影时的重影现象。

洛仑兹的大气环流运动，是不可能用三种寻常吸引子来描述其随机行为的。其数值模拟所得的是混沌吸引子，它不同于非混沌吸引子，洛仑兹在1963年发表的“关于确定性混沌”的著名论文中指出：第一个被观察到的混沌吸引子，位于三维状态空间中。尽管当时条件下，只绘出了其轨道上的7条线，且只能大致勾勒出该吸引子的两个类似蝴蝶翅翼的轮廓，但人们不难想象出它的完整形状是什么。那种必然存在的小尺度上的异常结构。只要一个微小的扰动就能迅速地使之倍增到足以对宏观行为产生影响的地步。初始状态很接近的两条轨道是按指数的规律迅速散开来，其运动变化十分复杂。实际上这种吸引子是一种分维形态的图形，其维数d=2.06。

图2.6.2 计算机“飞虫”吸引子(沿Z轴投影)

图2.6.2所示计算机“飞虫”对应的方程组为：

x_n+1=sin(ay_n)-z_ncos(bx_n)；

y_n+1=z_nsin(cx_n)-cos(dy_n)；

z_n+1=e× sinx_n；

其中a=2.24, b=0.43, c=-0.65, d=-2.43, e=1.0。

下面是洛伦兹吸引子的计算机图形的算法：

1：设置要绘制的吸引子类型，迭代次数(状态空间中的总点数)nSum，投影方向，绘图区域；

2：根据给定的吸引子类型、投影方向和绘图区域，计算投影点(x_n,y_n)与屏幕上的点(x,y)的对应关系;

5：依次取n=0,1,2, …, nSum，计算投影点(x_n,y_n)并在屏幕上的对应位置绘点。

程序说明：由于我们要得到的是吸引子，而吸引子与初始值无关，因此程序中可不需用户设置初始值，而在程序内部内置一个恰当的初始值

§2.7 标度不变性与费根鲍姆(Feigenbaum)常数

从图2.7.1所示的Logistic映射分岔图可以看出，若将分岔图局部放大，可以看到在一定程度上局部的形态是整体形态的再现或缩影，象这样同一种行为在越来越小的尺度上重复出现，我们称为自相似（self-similarity）。它是一种从总体上观察事物才能见到的规律。

图2.7.1 Logistic映射分岔图及其局部放大图(精细结构)

从横轴方向看前后两次分岔点之间的距离（u_n-u_n-1）愈来愈小，从纵轴方向看（即看分岔宽度），分岔宽度也愈来愈小，随着分岔的进行，从总体上看，整体与局部是相似的，但尺度差别却愈来愈大，可高达数十个量级，这是一种无特征尺度的现象。

无特征尺度现象的特征是，很多量随着尺度而变化。这里，我们要寻找随尺度变化而不变的量(标度不变性)。美国青年物理学家费根鲍姆（M.Feigenbaum）从Logistic映射入手，发现了有关倍周期分岔的普适性，即现在以他的名字命名的两个普适常数a =2.502907875…，和b =4.6692016091……

费根鲍姆25岁时在MIT获物理学博士学位，1974年到洛斯·阿拉姆斯国家实验室工作。60年代威尔逊的重整化理论使他知道标度交换多么重要。当他开始思考非线性问题时，意识到并无现成的通用方法，于是他从简单的Logistic映射开始进行自己的研究工作。1975年夏天在科罗拉多山村小镇阿斯本他听了斯梅尔（Stephen Smale）的报告。斯梅尔在报告中讲到这个映射奥妙的数学性质，费根包姆受到了很大的鼓舞，他开始使用解析分析与数值计算相结合的方法来研究Logistic映射。因为他用的是计算器，必须手工记下每个倍周期分岔处的精确值，这就促使他去注意猜测下一次倍周期分岔对应的参数会是多少。他发现若用u_n代表第n次分岔处的参数值，则在分岔图的u轴上相继发生分岔处的间隔之比趋于一常数：

他又用计算器去计算映射x_n+1=m Sinp x_n，竟得到同样的规律，再研究其它几个非线性函数，竟都得到4.669。他马上不满足计算器的精度了，于是急忙在一天内学会使用计算机，转天就得到：

δ=4.6692016901……

后来，人们称此δ为费根鲍姆第一常数。费根鲍姆意识到u₁,u₂,…,…u_n……以几何级数方式的收敛意味着有标度变换规律。

通过对Logistic映射分岔图的进一步研究，费根鲍姆发现，若记前后两次分岔宽度为△d和△d+1，则有：

a 称为费根包姆第二常数，也叫标度变换因子，δ和a 是一个新的常数，它象p ，e, h, c等一样是反映客观事物本质的普适常数，其存在的意义首先表明了一类事物具有自相似结构的普适性，而且还表明这普适性不仅有定性的意义而且还有定量的标度变换。于是，他采用重整化群的技巧，于1976年创立了混沌的普适理论，但这一突破直到1978年才获正式发表，而普适性的严格数学证明是由兰福德（Oscar E. Lanford）完成的。正是由于费根包姆开始的普适性研究，才使混沌理论的地位更加牢固。

我们可以利用第四节介绍的算法生成的分岔图来验证δ和a 的数值和普适性。

§2.8 混沌的特征与通向混沌之路

§2.8.1 混沌运动的特征

混沌在我国古代也称为“浑沌”，表示“世界形成以前的状态”。曹槽《七启》中曰：“夫太极之初，浑沌未分。”，《辞源》上解释为：“天地未开辟以前之元气状态”。还用“混沌”形容“浑然一体，不可分割”的状态，《易乾凿度》曰：“太易者，未见之也；太初者，气之始也；太终者，形之似也；太素者，质之始也；气似质具而未相离谓之混沌。”《庄子》内篇之七道“南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为浑沌”。此处“浑沌”又是人名，但仍与浑然一体有关，这个名叫浑沌的君王，无眼，无鼻、无口、无耳，他待南海之帝，北海之帝都很好，这两位为了报答中央之帝，为浑沌开七孔于头部，一日开一孔，第七日浑沌便死去。

在英文里，“chaos”除了也指有序宇宙之前曾存在过的无序，无形物质之意，还指“完全无序彻底混乱”。100多年前，玻耳兹曼假设气体分子运动具有随机性，后来，我国物理界将其取名为“分子混沌假说”，已把“混沌”用作科学术语。早年信息论的奠基人维纳（N.Wiener）把混沌一词用在他的论文里，指随机过程引起的无序状态，而我们这里的“混沌”，特指确定性系统中的内在随机行为，与概率性的随机行为相比，混沌具有如下特征：

1. 系统由完全确定性的方程来描述，无任何随机因子，但必有非线性项。

2. 系统的随机行为是其内在特征，并不是外界噪声或无扰引起的。

3. 系统对初始条件的极为敏感。只要初始条件稍有差别，或微小扰动，就会使系统的最终状态出现巨大的差异。因此，混沌系统的长期演化行为的细节是不可预测的。

4. 系统具有分形的性质，前面提到的洛伦兹吸引子，赫伦（Henon）吸引子都具有分形结构，其维数分别为2.06和1.26。分岔图和混沌带具有无穷嵌套的自相似几何结构，若将分岔图放大，可以看到在一定程度上局部是整体的重现或缩影（在配套软件中可以看到）。

5. 系统具有标度不变性。由分岔进入混沌的过程，还遵从费根鲍姆常数系。这一常数是倍周期分岔走向混沌的普通性数量特征。

§2.8.2 通向混沌之路

对于用微分方程或映射解的稳定性理论来透彻分析混沌通路的方法本文不作探讨。这里只对通向混沌的道路作一粗略介绍。

分岔泛指动力学系统中当控制参量改变并经过某些临界值时，其相图发生拓扑结构上的突变，即系统的性态发生了突变。一般分岔有三种基本原型，它们是叉型分岔，霍甫夫（Hopf）分岔及切分岔（或鞍结分岔），叉型分岔是在分岔点原稳定态变为不稳定，并出现两个新的平衡态（如前述的倍周期分岔）。霍甫夫分岔是在分岔点除了稳定态变成不稳定态之外，还生出所谓“极限环”而显现周期运动。切分岔可使一个平衡态分岔而变为一个稳定态和一个不稳定态。例如可以出现一对周期相同的轨道，其中一条是稳定的，另一条不稳定。通向混沌之路一般有以下三种。

（1）倍周期分岔之路。

这是靠映射的不动点的一系列叉型分岔而走向混沌。如前述Logistic映射，倍周期分岔至周期2 ^¥ 而进入混沌区。

（2）拟周期运动通往混沌。

这也称为Ruelle-Takens-Newhouse。

若起初系统处于定常状态，经霍甫夫分岔可变为周期状态，（或者起初就处于单频率的周期状态），经霍甫夫分岔又产生一个新的周期运动。如果这新频率与原频率不可公度，便产生拟周期运动。巴西拓扑学家派克索托已证明环面上的拟周期运动是不稳定的，稍有扰动，就会过度到某个周期解，这就是说：拟周期运动中的两频率之比将从无理数变成与之接近的有理数，这就是锁频（frequency-locking）现象。当控制参量超过临界值时，可在不同的具体情况下走向混沌。

（3）阵发（或间歇）混沌之路。

图2.9.1（a）是映射：c _n+1=uc _n(1-c _n)中，取m =3.59，选代300次的折线图。这显然不是一条周期轨道，它很象是c _n的随机起伏。在周期3窗口的左端，减少参量也会进入混沌。周期3窗口的起始点可以精确地定出来（在此不加讨论），其值为： m _c=1+=3.828427……，取略小于m _c的参量m =3.82825，选代300次的c _n变化如图（b）所示。这也是一条混沌轨道，但同图（a）相比颇有不同，轨道的某些段落象是规则的周期运动，称为“层流相”，各层流相之间是或长或短的随机跳跃，称为“湍流相”。迭代过程中何时出现层流相，何时进入湍流相，又是随机和不可预言的。但是，只要参量一定，湍流相或层流相的平均时间也是确定的。参量值越靠近m _c，湍流相的时间越短。象这样在周期窗口起点附近进入混沌运动的情形，称为陈发混沌道路。

图2.9.1 （a）混沌状态

图2.9.1 （b）阵发混沌

§2.9 混沌的应用及理论意义

§2.9.1 混沌的应用

对混沌现象的研究，使人们看到了自然界中普遍存在于而多年来被视而不见的一种运动形态。在较为低级的层次上，混沌往往是应当设法回避的行为；在物质运动的高极形式，例如生命现象中，混沌可能是具有根本意义的积极因素。在这两者之间。是各种各样的应用可能性。

人们曾经期望，利用低温下通过两个超导体之间极薄的绝缘层发生的超导隧道效应，可以制造低噪声的微波参量放大器。然而1977年以后发现，放在微波谐振腔中的超导隧道结，随着增益提高还给出反常高噪声。实验在4K低温下进行，噪声的等效温度却高达50000K以上。这是用当时已知的任何机制都无法解释的。后来明白了，原来系统进入了混沌状态，“噪声”来自动力学本身。

声学中有更多混沌无益的实例。令强功率超声波通过液体，波前的局部压力可能减少到使液体气化发泡。早在30年代就知道这种“空化”过程伴随着大量噪声，频谱中甚至还有原来频率一半的分频成分。近年来在空化噪声中观察到了通过倍周期分岔走向混沌的全过程。空化现象还发生在高速运动的涡轮叶片背面，是造成叶片损伤的一种因素。在更简单的声学系统，例如扩音器中，线性响应通常导致高保真度，而质量不佳的喇叭在较低的输入电平上就可能发生向分频的分岔而这正是混沌乐章的序曲。

高能粒子加速器中束流的损失，受控热核反应实验装置中约束磁场的漏失，核反应堆中循环水的有害回流，乃至光学双稳器件的不稳定性凡此种种概与混沌有关。深水采油浮塔及其附近系泊的用以悬挂输油管路的相联的塔柱，在海浪冲击下会发生次频甚至混沌振动。这些通常都属于应当回避的混沌现象。

1990年以来发展了控制混沌的概念并为实验证明可行，基本思想很简单。奇怪吸引子里包含着无空多种或长或短的不稳定周期；一条混沌轨道象是不断地在这些不稳定周期之间随机跳跃。事实上，不太长的周期可以从实验数据中提取和判定。对系统施加适当的与时间有关的微扰。可能把某种特定的周期运动稳定下来，从而把混沌运动变成所希望的周期运动。控制混沌是一个刚开始发展的领域，还要作不少研究才能阐明其潜力。

地球物理学中有许多复杂的动力学过程，很难简单地以“利”“害”名之，人们必须深入研究才能认识它们。例如，古地磁资料表明地磁场在近数百万年内曾经多次随机地反向，又如影响全球天气变化的南太平洋海温的非周期振荡，即所谓厄尔尼诺（El Mino）现象，最近几年都有人用确定论模型中的混沌加以解释，当然，人们还不能宣称混沌就是这些现象的唯一原因，但至少增加了一种考虑问题的观点。

理解流体湍流的发生机制，始终是研究混沌的重要动力。目前研究得较为透彻的，是局限在容器中的流体的运动。例如，夹在上下底板之间而从下面加热的流体，从热对流失稳而发展到振荡和湍流。又如介于两个同轴圆柱面之间的流体，当内圆柱转动速度渐高时，会经历一系列运动模式的突变，最终进入湍流状态。这类湍流发展过程的最初几步，与非线性系统走向混沌的道路有并行或相似之处。工业应用中更为重要的是开放流中的湍流。人们希望研究混沌现象对认识这类湍流也有所启发。为此必须把空间自由度的耦合也考虑进来，而不能象本文前面那样，只研究少数自由度的时间演化。对种“时空混沌”模型的研究，是本领域的另一个前沿。

当我们进而考察生命现象时，混沌行为的启发作用就更大了。各种各样的生物节律，既非完全周期，又不可能属于纯粹随机，它们既有“锁频”到自然界周期（季节，昼夜等）的一面，又保持着内在的“自洽”性质。许多生物节律可用耦合的非线性振子模型，而混沌运动正是耦合振子系统的一类典型行为。20世纪20年代后期已经有人用非线性电路模拟过心脏搏动。近几年生理实验和数学模型的研究，进一步揭示了各种心律不齐、房室传导阻滞与混 沌运动的可能联系。如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波近乎随机讯号。进一步测量表明它们不是随机的，而象是来自维数不高的动力学过程。目前距离真正认识脑的动力学还很遥远，但神经网络和脑功能的实验与模型研究正在成为物理学的关心对象。

§2.9.2 没有“混沌学”浅淡混沌的哲学意义

我们在结束本章之前，简单讨论一下混沌的哲学意义。

先从“混沌”这两个字本身说起。奥地利物理学家玻耳兹曼（L.Boltzmann）在19世纪后半叶发展气体分子运动理论时，曾经作过关于分子运动随机性的假设，我国前辈物理学家王竹溪先生定名为“分子混沌性假设”。因此，中国物理学文献中早就用过混沌这个词，不过其涵义是混乱无规。

李天岩和约克1975年使用Chaos这个源于希腊的古字。其原意与中文混沌接近，系指世界未开、天地不分之前的状态。庄子在《内篇》卷七讲过一段关于名为“浑沌”的神话皇帝的故事，用了与“混”相通的“浑”字。不过汉语中早就两字混用，1915年初版的《辞源》就说“浑沌”与“混沌”同，因此，我们就选用了使用得较为普遍的混沌一词。不论其语源如何，作为科学概念的混沌，应当根据其严格定义来理解和运用。

不过，混沌一词也引发了不少望文生义、牵强附会的伪科学议论。有人甚至说什么“混沌论”是继量子力学和相对论之后的第三次突破。到处乱贴混沌标签，象是抓住了新的科学思想，其实除了混淆视听，没有解决任何问题。

第一，混沌并不新，作为自然现象它早就存在，作为科学对象，也已经研究了100年。第二，混沌并不神秘，它已经有坚实的数学基础和大量的理论与实验研究，特别是精致的计算机模拟。第三，混沌不是议论，搬弄名词不能代替对实际的混沌现象的科学研究。第四，混沌不是一批完备的教条，而是正在发展的研究领域。

同波动现象作类比很有教益。自然中处处有波动现象，它们背后有统一的数学理论。然而这并不能代替对水波，声波，电磁波，地震波的具体研究。仅仅制造象“波动论”这样的名词，并不能推动科学进步。基于类似的理由，“混沌论”的提法也并无必要。

最后，我们再作几条一般性的评述。

首先是关于自然现象，例如天气的可预报性。科普文献中常常遇见一种观点，说混沌动力学的发展排除了长期预报的可能性。其根据则是气象学家罗伦兹在20世纪70年代后期一次国际会议上所作的比喻。罗伦兹说天气过程以及描述它们的非线性方程是如此不稳定，以致巴西亚马孙河流域热带雨林中一只蝴蝶偶然拍动翅膀，可能两星期以后在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。在描述混沌运动对初值细微变化的敏感性这个意义下，罗伦兹是正确的。这对于人类的预报本领有什么含义呢？

人类并不能失去从来还没有拥有过的东西。由现在完全推知未来的确定论观点其实一直是一种幻想。我们现在对于预报问题有了更符合实际的态度。其实对短期预报和长期预报的要求从来不同。只有对于短期预报，我们才关心轨道的细节，例如下星期天的温度变化情形。对于长期预报，人们更注意各种平均量的发展趋势，例如今后20年内华北年降水量的多少。混沌动力学的进步，恰恰在这两个方面都提高了人类的预报本领。

自然界是统一的整体，但自然科学中有确定论和概率论两套描述体系。牛顿以来的科学传统，比较推崇确定论体系，而把概率论描述作为“不得已而为之”的补充。其实，完全的决定论和纯粹的概率都是抽象的极限情况。真正的自然界介于二者之间。对混沌现象的研究，帮助我们从更为接近实际的一种角度认识世界，使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来。人们对偶然性和必然性这些哲学范畴的认识也会随之深化。