数据结构（6） -- 查找

查找表：用于查找的数据集合
对查找表的四种操作：
- 查询某特定元素是否在查找表中
- 检索满足条件的某个特定的数据元素的各种属性
- 在查找表中插入一个数据元素
- 删除一个数据元素
静态查找表：没有插入，删除操作的查找表。查找方法：顺序查找、折半查找、散列查找
动态查找表方法：二叉排序树的查找（二叉平衡树、B树）、散列查找
平均查找长度： $ASL=\sum_{i=1}^{n}P_{i}C_{i}$ ，n是查找表的长度。P_{i}是查找第i个元素的概率，C_{i}是找到第i个数据所需进行的比较次数，是查找表的长度。是查找第个元素的概率，是找到第个数据所需进行的比较次数
顺序查找：
- 一般线性表的顺序查找
  
  $ASL_{succeed}=\frac{n+1}{2},ASL_{failed}=n+1$
- 缺点：当n较大时，平均查找长度较大，效率低
  
  优点：对数据元素存储没有要求
- 有序表的顺序查找
  
  $ASL_{failed}=\frac{n}{2}+\frac{n}{n+1}$
折半查找：
- 折半查找过程可以用判定树表示。圆形结点是一个记录，值为关键字值。叶节点是方形，表示查找不成功的情况。查找成功时查找长度是根节点到目的结点路径上的结点数；不成功是根节点到失败节点父节点的路径上的结点数。
- 折半查找法查找给定值的比较次数最多不会超过树的高度。 $ASL_{succeed}=\log _{2}(n+1)-1$
  - 折半查找时间复杂度O(log2n)
  - 折半查找只适合线性表的顺序存储结构，不适合链式存储，且要求元素按关键字有序
分块查找：
- 查找表分若干子块，块内元素可以无序，但块之间有序。第一个块中关键字小于第二块中所有记录关键字，以此类推。再建立一个索引表，索引表中每个元素含有各块最大关键字和各块第一个元素的地址，索引表按关键字有序排列。
B树
- 所有结点的孩子结点数的最大值称B树的阶m
- 若根节点不是终端结点，至少2棵子树，1个关键字
- 除根节点外的所有非叶节点至少天花板(m/2)棵子树，天花板(m/2)-1 个关键字
- B树是所有结点的平衡因子均等于0的多路查找树
- 一棵包含n个关键字，高度为h，阶数为m的B树：
  - $\log _{m}(n+1) \leqslant h \leqslant \log _{\left \lceil m/2\right \rceil}((n+1)/2)+1$
- B树插入后小于m则直接插入，插入后大于m-1，则需分裂。（最多m-1——
- B树删除用到最少天花板(m/2)-1个关键字
- B树不支持顺序查找
- 每个结点关键字个数范围：
  
  $\left \lceil m/2\right \rceil-1\leqslant n\leqslant m-1( \leqslant n\leqslant m-1)$
- B树叶节点个数对应查找失败的情况，n个关键字，失败的可能性n+1种
B+树
- 每个分支最多m棵子树
- 非根叶节点至少两棵子树，其他至少天花板(m/2)棵子树。
- 结点的子树个数与关键字个数相等
- B+树支持顺序查找
- 叶节点包含全部关键字及指向相应记录的指针，叶节点中将关键字按大小顺序排列。分支结点只包含它的各个子节点中关键字的最大值和指针。
- 每个结点关键字个数范围：
  
  $\left \lceil m/2\right \rceil\leqslant n\leqslant m(1\leqslant n\leqslant m)$
- B+树非叶节点不含有关键字对应记录的存储地址
- B+树中，无论查找成功与否，每次查找都是一条从根节点到叶节点的路径
散列表
1. 散列函数把查找表中的关键字映射成该关键字对应的地址的函数
2. 冲突：两个或两个以上的不同关键字映射到同一地址
3. 同义词：发生碰撞的关键词
4. 散列表：根据关键字直接进行访问的数据结构，查找时间复杂度O(1)，与表中元素个数无关
5. 常用散列函数：
  - 直接定址法
  - 除留余数法
  - 数字分析法
  - 平方取中法
  - 折叠法
6. 处理冲突的方法：
  - 开放定址法
    - 线性探测法
    - 平方探测法
    - 再散列法
    - 伪随机序列法
  - 拉链法
7. 散列表查找效率取决于3个因素：散列函数、处理冲突的方法、装填因子
8. 装填因子：
  
  $\alpha=\frac{n}{m}$ ，表中记录树n、散列表长度m
9. 散列表的平均查找长度依赖于装填因子α，不直接依赖m或n。α越大，表越满

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