Solution

inv[i]=(mo−mo / i)∗inv[mo % i] % mo

inv[i] = (mo-mo\ /\ i ) * inv[mo\ \%\ i]\ \%\ mo

证明：

设 t=mo / it=mo\ /\ i ,k=mo % ik=mo\ \%\ i ，

则有：

t∗i+k≡0 (mod mo)

t*i+k≡0\ (mod\ mo)

有：

−t∗i≡k (mod mo)

-t*i≡k\ (mod\ mo)

两边同时除以 i∗ki*k 得到：

−t∗inv[k]≡inv[i] (mod mo)

-t * inv[k]≡inv[i]\ (mod\ mo)

即：

inv[i]≡−mo / i∗inv[mo % i] (mod mo)

inv[i]≡-mo\ /\ i*inv[mo\ \%\ i]\ (mod\ mo)

即：

inv[i]≡(mo−mo / i)∗inv[mo % i] % mo

inv[i]≡(mo-mo\ /\ i)*inv[mo\ \%\ i]\ \%\ mo

证毕。

适用于模数 momo 是质数的情况，能够 O(N)O(N) 时间求出 1−N1-N 对模 momo 的逆元。

Code

inv[0]=inv[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(long long)(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;

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