设$E$是复平面$\mathbb C$中的任意点集,那么$\mathbb C$中的点可分为三类：

1)点$a\in\mathbb C$称为$E$的内点,如果存在$r>0$使得$B(a,r)\subset E$,内点的全体称为内部,用集合用$E^{\circ}$表示;

2)称为$E$的外点,如果$B(a,r)\subset E^c$,外点的全体称为外部,由定义显然$\left(E^c\right)^{\circ}$即为$E$的外部.;

3)称为$E$的边界点,如果$\forall r>0$都有$$B(a,r)\cap E\neq\varnothing,B(a,r)\cap E^c\neq\varnothing$$边界点的全体用$\partial E$表示.

按照点集的性质显然复平面$\mathbb C$可被分解成无交并$$\mathbb C=E^\circ\cup \left(E^c\right)^{\circ}\cup\partial E$$

如果$E=E^{\circ}$,那么称$E$为开集;如果$E^c$为开集,那么称$E$为闭集.

点$a$称为$E$的极限点,如果对任意的$r>0$,去心邻域$B(a,r)\setminus\{a\}$总包含$E$中的点 ,$E$的极限点的全体称为$E$的导集,记作$E'$.而$E$中那些不是极限点的点称为孤立点,而$E$和$E'$并称为$E$的闭包,记作$\overline{E}=E\cup E'$.

如下结论应当是显然的:

1.$E^{\circ}$是开集,$\partial E,\overline{E}$都是闭集;

2.$E$是闭集的充要条件是$E=\overline{E}\Leftrightarrow E'\subset E$.

对任意的点集$E$,我们定义$E$的直径$$\mathrm{diam}E=\mathrm{sup}\left\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\right\}$$我们便可以将实数集的闭区间套定理推广,即:

若有非空闭集序列$\{F_n\}$满足:(1)$F_1\supset F_2\supset\cdots$;(2)$\mathrm{diam}F_n\to 0(n\to\infty)$,那么$\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$是一个单点集.

证明    任取$z_n\in F_n$,由条件对任意的$\varepsilon>0$,存在$N>0$使得$n>N$时恒有$\mathrm{diam}F_n<\varepsilon$,从而当$n,m>N$时由于$z_n,z_m\in F_N$,必有$$|z_n-z_m|<\mathrm{diam}F_N<\varepsilon$$这说明$\{z_n\}$是Cauchy列,从而必收敛,设$z_n\to z_0(n\to\infty)$,我们来说明$z_0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$,注意点列$\{z_n\}\subset F_k,\forall k\in\mathbb N$,而每个$F_k$都是闭集,因此极限点$z_0\in F_k$,由$k$的任意性即得$z_0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_k$.如若还有另外一点$a\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_k$,那么必然有$$|z_0-a|\leq\mathrm{diam}F_n\to0(n\to\infty)$$这说明$z_0=a$,命题成立.

设$E$是一个集合,集族$\mathscr{F}=\{G\}$是一个开集族,即$\mathscr F$中每个元素$G$都是开集.如果$E$中每个点都至少属于$\mathscr F$中的一个开集,那么称$\mathscr F$为$E$的一个开覆盖.特别的如果对于$E$的每个开覆盖$\mathscr{F}$,总能找到有限个开集$G_1,\cdots,G_n\in\mathscr F$使得这有限个便能覆盖住$E$,即$$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}G_i$$我们称$E$为紧集.

关于紧集,我们有:在$\mathbb C$中,$E$为紧集的充要条件是$E$是有界闭集;而在$\mathbb C_{\infty}$中,$E$是紧集的充要条件是$E$是闭集.

证明    首先如果$E$是$\mathbb C$中的有界闭集,那么按照实数集的有限覆盖定理类似可证$E$是紧集.而若$E$是$\mathbb C_{\infty}$中的闭集,如果不包含$\infty$,注意$E^c$是开集,从而存在$r>0$使得$B(\infty,r)\subset E^c$,说明$E$中每个元素$z$都有$|z|\leq r$,从而$E$有界,那么和第一种情况没有区别.如果$\infty\in E$,在$\mathscr F$中可以找到某个开集$G_0$覆盖$\infty$,那么$E\setminus G_0$为有界闭集且被$\mathscr F$覆盖,自然仍然可被有限覆盖.

另一方面,如果$E$中的紧集,我们不只需说明他是$\mathbb C_{\infty}$中的闭集即可.因为如若$E$是闭集又不包含$\infty$,那么他必然是有界的.为了说明$E$是闭的,仅需说明$E^c$是开集即可,为此任取$a\in E^c$.对任意的$z\in E$,存在$r_z>0$使得$a\notin \overline{B(z,r_z)}$,当$z$取遍$E$中所有点时,这些开圆盘便构成了$E$的一个开覆盖$$\mathscr F=\left\{B(z,r_z):z\in E\right\}$$由$E$的紧性,从而可在$\mathscr F$中取出有限个$B(a_i,r_i),i=1,2,\cdots,n$使得$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i)$且由构造过程可以看出$$a\in\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c$$注意$\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c$是开集,从而存在$r>0$使得$$B(a,r)\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}\overline{B(a_i,r_i)}\right)^c\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i)\right)^c\subset E^c$$这说明$E^c$是开集,从而$E$是闭集.

 集合之间的距离:设$E,F$是任意两个集合,那么定义他们之间的距离为$$d(E,F)=\mathrm{inf}\left\{|z_1-z_2|:z_1\in E,z_2\in F\right\}$$特别的如果$E$是单点集$\{a\}$,那么$$d(E,F)=d(a,F)=\mathrm{inf}\left\{|a-z|:z\in F\right\}$$可以看出如果$F$是闭集且$a\notin F$,那么$d(a,F)>0$,这是因为$a\in F^c$且$F^c$是开集,从而存在$r>0$使得$B(a,r)\subset F^c$,因此$d(a,F)\geq r>0$.类似的如若$E$是有限点集,$F$是闭集且$E\cap F=\varnothing$,同样的有$d(E,F)>0$.但是$E$也是无穷闭集结论未必成立,反例是$E=\mathbb R$即为实轴,$F$是$y=e^x$的图像,显然二者都是无限闭集,但是$d(E,F)=0$.但是对于紧集,我们有:

设$E$是紧集,$F$是闭集且$E\cap F=\varnothing$,则$d(E,F)>0$.

证明    对任意的$a\in E$,按照前面的分析$$r_a:=d(a,F)>0$$考虑集族$\mathscr F:=\left\{B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right):a\in E\right\}$,显然构成了$E$的开覆盖,而$E$是紧的,从而可从$\mathscr F$中选除有限个$B\left(a_i,\frac{1}{2}r_i\right),i=1,2,\cdots,n$使得$$E\subset\bigcup_{i=1}^{n}B\left(a_i,\frac{1}{2}r_i\right)$$这样的对任意的$z_1\in E$,必然有某个圆盘$B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right)\in\mathscr F$使得$z_1\in B\left(a,\frac{1}{2}r_a\right)$,从而对任意的$z_2\in F$有\begin{align*}|z_1-z_2|&\geq|a-z_2|-|a-z_1|\\&\geq r_a-\frac{1}{2}r_a=\frac{1}{2}r_a\\\Rightarrow d(E,F)&\geq\frac{1}{2}r_a>0\end{align*}

以上讨论说明紧集保留了大部分有限集的性质!

与实数集的Weierstrass聚点定理类似,我们有:扩充复平面$\mathbb C_{\infty}$中的任意无限点集$E$必然有有极限点.

证明    如若$E$无界,那么显然$\infty$便是其极限点.而若$E$是有界集,如果没有极限点,那么他是一个闭集,从而是一个紧集.并且对任意的$z\in E$,存在$r_z>0$使得$B(z,r_z)$中除了$z$不再有$z$中其他的点.当$z$取遍$E$中所有点时,集族$\mathscr F:=\{B(z,r_z):z\in E\}$便构成$E$的一个开覆盖,从而可取出有限个覆盖$E$.而每个开集中仅含有$E$中一个点,这说明$E$是有限集,矛盾!因此$E$一定有极限点.

最后介绍一个重要的结论,设集合$E\subset\mathbb C$既是开集又是闭集,那么$E=\varnothing$或$E=\mathbb C$.

借助于后面连通性的知识这个结论是显然的,这里给出一个不依赖$\mathbb C$的连通性的证明.不妨设$E$不包含$\infty$,否则考虑$E^c$即可,他也是一个既开又闭的集合.因此$E$必然是一个有界闭集也是开集.显然这是不可能的,因为$E$必然有边界点.