北极熊优化算法PBO的理论知识以及python代码实现

北极熊优化算法
- 1.条件假设
- 2.浮冰漂移（全局搜索）策略
- 3.海豹捕捉（局部搜索）策略
- 算法步骤
Python代码实现
- 参数设定
- 寻优函数
- 浮冰漂移（全局搜索）策略
- 海豹捕捉（局部搜索）策略
- 寻优结果
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参考文献

北极熊优化算法

1.条件假设

在北极熊算法中，假设种群由ｋｋｋ kkk个北极熊组成，每个北极熊代表解空间中的一个具有nnn个维度的点x=(x0，x1，…，xn−1)x= (x_0，x_1， …，x_{n-1})x=(x0，x1，…，xn−1)，在第ttt次迭代时第iii 个点的第jjj 维度的坐标用（xji)t（{{x_j}^i})^t（xji)t 表示。

2.浮冰漂移（全局搜索）策略

如果一只饥饿的北极熊在它最近邻范围内找不到任何东西吃，那么它就站上一个大而稳定的浮冰，浮冰在很长一段时间内不会因为北极熊体重太大而破裂。北极熊利用浮冰朝远处可能有海豹的聚集地漂移。漂移可能需要几天时间，在这段时间内北极熊也在周围的冰面和水域中寻找食物。北极熊的浮冰漂移现象在算法中用公式 (１)来表示。
(xji)t=（xji)t−1+sign(w)×α+γ(1)({{x_j}^i})^t=（{{x_j}^i})^{t-1}+sign(w)×\alpha+\gamma\qquad\qquad\qquad(1) (xji)t=（xji)t−1+sign(w)×α+γ(1)

ααα是区间 (0,1](0,1](0,1]之间的随机数，γγγ是 [0,w][0,w][0,w]区间内的随机数，sign(w)sign(w)sign(w) 函数是分段函数，根据 www 的取值 (负，０，正)({负，０，正})(负，０，正)sign(w)sign(w)sign(w)函数的结果为{ −1,0,1{-1,0,1}−1,0,1}，www 是两个北极熊之间的欧式距离 (公式 (２))。
w＝∑k=0n−1(xkbest−xki)2(2)w ＝ \sqrt{\sum_{k=0}^{n-1}({x_k}^{best}-{x_k}^{i})^2}\qquad\qquad\qquad(2) w＝k=0∑n−1(xkbest−xki)2(2)
在北极熊算法的迭代过程中的每个个体都根据公式 (１)进行全局搜索探索，但是只有在某只熊探索到比当前位置更好的位置时，才更新该只熊的位置。因为只有在熊距离海豹聚集地更近的时候，它才有很大希望捕成功（如图２所示）。

3.海豹捕捉（局部搜索）策略

在捕猎过程中，北极熊在北极冰面上漫步着探寻潜在的猎物，此时它不仅观察冰面上的情况，水下的情况也在它的视野监视之下。为了发现猎物，北极熊悄悄地向最佳地点移动。一旦北极熊基本到达攻击位置或者它被海豹发现，他就以最大速度攻击猎物。海豹通常最有可能待在冰上，然而当有危险的时候，它们也会跳入水中。北极熊也会立刻跳入水中，利用潜水和游泳的优势，北极熊可以在水下迅速追上猎物并把它的牙齿刺入海豹体内，随后北极熊把海豹拖上浮冰享用美味。北极熊的这种捕捉海豹的策略，在算法中作为局部搜索策略。每只熊的移动方式按照修改的三叶草方程公式 (3)(3)(3)进行，北极熊的视野半径用两个参数表示：θ∈[0,0,3]θ{\in} [0,0,3]θ∈[0,0,3]限定了北极熊的能见距离，φ0∈[0,0,3]φ_0{\in}[0,0,3]φ0∈[0,0,3]表示围绕猎物行进的斜角度。
r=4acos(φ0)sin(φ0)(3)r=4acos(φ_0)sin(φ_0)\qquad\qquad\qquad\qquad(3) r=4acos(φ0)sin(φ0)(3)
ｒ作用于每只熊自身移动过程中每一维度上的坐标的更新过程中，如公式 (４）所示。
x0new=x0dd±rcos(φ1)x1new=x1dd±r[sin(φ1)+cos(φ1)]x2new=x1dd±r[sin(φ1)+sin(φ2)+cos(φ3)]（4）xn−2new=xn−2dd±r[∑sin(φk)+cos(φn−1)]xnnew=xndd±r[∑sin(φk)+cos(φn)]{x_0}^{new}={x_0}^{dd}±rcos(φ_1) \qquad\qquad\qquad\\ {x_1}^{new}={x_1}^{dd}±r[sin(φ_1)+cos(φ_1)]\qquad\qquad\qquad\\ {x_2}^{new}={x_1}^{dd}±r[sin(φ_1)+sin(φ_2)+cos(φ_3)]\qquad\qquad\qquad（4） \\ {x_{n-2}}^{new}={x_{n-2}}^{dd}±r[\sum{sin(φ_k)}+cos(φ_{n-1})]\qquad\qquad\qquad\\ {x_{n}}^{new}={x_{n}}^{dd}±r[\sum{sin(φ_k)}+cos(φ_{n})]\qquad\qquad\qquad\\ x0new=x0dd±rcos(φ1)x1new=x1dd±r[sin(φ1)+cos(φ1)]x2new=x1dd±r[sin(φ1)+sin(φ2)+cos(φ3)]（4）xn−2new=xn−2dd±r[∑sin(φk)+cos(φn−1)]xnnew=xndd±r[∑sin(φk)+cos(φn)]
　每个φφφ的取值为 [0,2π][0,2π][0,2π]，公式中的 “＋”号表示北极熊向前探寻，如果位置不理想，北极熊就向 “－”号方向探寻，两个方向都不理想，北极熊就原地不动。如果北极熊是在二维平面上进行捕猎，则它的行进路径与三叶草某片叶子的形状极其相似（图３）。　
饥饿引发熊群繁衍与灭绝策略（动态种群规模调整策略）在算法执行初期，熊群规模只是最大容量的75%，剩余的25％为后期的熊群增长、最好个体繁殖后代和最差解的消亡作准备。在算法的每一次迭代中，个体会因饥饿而死亡或者在成功捕猎后繁殖后代。这个机制代表了北极的严酷条件，算法引入kkk作为[0,1][0,1][0,1]区间上的随机数，采用公式 (５)确定熊的死亡或生存决策。
Deathifk<0.5Reproductionifk>0.75(5)Death\qquad\qquad\qquad if\,k<0.5\\ \qquad Reproduction\qquad if\,k>0.75\qquad\qquad(5) Deathifk<0.5Reproductionifk>0.75(5)
死亡策略是针对最虚弱的一只熊，熊死亡的条件是：种群数量要保证多于种群容(6)(6)(6)进行。
(xjReproduction)t=(xjbest)t+(xji)t/2(6)({x_j}^{Reproduction})^t={({{x_j}^{best}})^t+({{x_j}^{i}})^t}/2\qquad(6) (xjReproduction)t=(xjbest)t+(xji)t/2(6)

算法步骤

1）定义参数：适应值fff、解维度、迭代次数 TTT、种群最大容量nnn和视野最大距离等；

2）随机生成初始种群75％n75％n75％n并记录最好解；

3）对种群中的每个北极熊，随机设置每个维度的斜角度值φφφ；

4）利用公式（３）计算搜索半径rrr；

5）在 “＋”号作用下采用公式（４）计算北极熊新位置，如果新位置更好，更新当前位置；

6）在 “－”号作用下采用公式（４）计算北极熊新位置，如果新位置更好，更新当前位置；

7）根据公式（１）和www，决策北极熊的位置；

8）对种群进行排序，选出排序第一位的北极熊判断是否更新全局最好解；

9）随机从当前种群1010%10个最好解中，选择111个与全局最好解不同的解；

10）随机产生kkk值，如果k<0.25k<0.25k<0.25且熊数量大于50％50％50％，则移除种群中排序在最后一名的解；

11）如果熊的数量小于n−1n-1n−1，则根据公式（６）繁衍１只新熊加入种群；

12）判断是否达到最大迭代次数，是则转13），否则跳转到3）；

13）输出全局最好解和适应值，退出算法。

Python代码实现

参数设定

'''
# 全局参数设定
'''
M:种群最大容量
m:种群当前规模大小
N:目标函数解的维度
T:迭代次数
V:最大视野距离
X:解集合
P:初始化种群数量百分比
K:动态调整规模参数
B:变量限制范围
'''
# 问题1：迭代陷于局部最优
M, N, T, V, P, K, B = 30, 20, 201, 0.3, 0.75, 0.25, [-32, 32]
m = int(np.floor(M * P))

寻优函数

def function(X):y1 = 0for i in X:y1 += i*iy2 = 0for i in X:y2 += np.cos(2*np.pi*i)y = -20 * np.exp(-0.2 * np.sqrt(1 / 30 * y1))-np.exp(1/30*y2)+20+np.exp(1)return y

浮冰漂移（全局搜索）策略

fits = np.zeros(M)def move(index, angle, radius, action):# print('index, angle, radius, action, N', index, angle, radius, action, N)temp = np.zeros(N)for j in range(N):# print("j:", j)result = 0# 计算sin部分的累加值for k in range(j):result += np.sin(angle[k])if 'add'.__eq__(action):temp[j] = X[index][j] + radius * (result + np.cos(angle[j]))else:temp[j] = X[index][j] - radius * (result + np.cos(angle[j]))return temp

海豹捕捉（局部搜索）策略

res = np.zeros(50)
# main loop
fitness = np.zeros(T)
for _ in range(1):# 初始化m = int(np.floor(M * P))# X = np.zeros((M, N))## # 随机初始化# X[:m] = np.random.random((m, N)) * (B[1] - B[0]) + B[0]X = np.loadtxt(open("./pop_Ackley.csv", "rb"), delimiter=",", skiprows=0)f_best = np.infx_best = 0for i in range(m):fits[i] = function(X[i])arg = np.argsort(fits[:m])if fits[arg[0]] < f_best:f_best = fits[arg[0]]x_best = X[arg[0]]# 测试一次 迭代T次t = 0while t < T:# area search# 视野半径后期变大 跳出局部最优# 对种群每一只北极熊for i in range(m):# 局部搜索angles = np.random.random(N) * 2 * np.pista = np.random.random() * Vangle0 = np.random.random() * np.pi / 2r = 4 * sta * np.cos(angle0) * np.sin(angle0)# using the sign of addtmp = move(i, angles, r, 'add')if function(tmp) < function(X[i]):X[i] = tmpelse:tmp = move(i, angles, r, 'minus')if function(tmp) < function(X[i]):X[i] = tmp# 全局搜索# 决策北极熊的位置w = np.sqrt(np.sum((x_best - X[i]) ** 2))alpha = np.random.random()gamma = np.random.random() * wtmp = X[i] + np.sign(w) * alpha + gammaif function(tmp) < function(X[i]):X[i] = tmp# 统计当前适应度值for i in range(m):fits[i] = function(X[i])arg = np.argsort(fits[:m])if fits[arg[0]] < f_best:f_best = fits[arg[0]]x_best = X[arg[0]]# 种群的动态变化k = np.random.random()# 种群繁衍if m < M - 1 and k > (1 - K):# 从前10%中随机抽取一个 个体与最好个体交配 生成新的个体idx = random.randint(1, np.floor(m * 0.1) + 1)X[m] = (x_best + X[arg[idx]]) / 2m += 1# 最弱个体死亡if m > M * 0.5 and k < K:# arg中排序最后的为最弱个体# 死亡之后 后面的所有个体往前移动一个位置X[arg[-1]:m] = X[arg[-1] + 1:m + 1]m -= 1print(t, " 当前最小适应度值:", f_best, '个体为：', x_best, '种群数量：', m)fitness[t] = f_bestt += 1print("第", _, '次测试', "最小适应度值:", f_best, '个体为：', x_best)res[_] = f_best

寻优结果

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参考文献

[1]张亮, 韩毅, 邓丽丽. 国外新型智能优化算法——北极熊算法[J]. 计算机测量与控制, 2020, 28(3):7.