[学习笔记]dp凸优化/wqs二分[八省联考2018]林克卡特树lct

废话

很早就想学wqs二分，结果拖了好久。因为以前是看了几遍都没有懂。。（太菜了
后来因为计划里凸优化的题(比如CF321E Ciel and Gondolas,CF739E Gosha is hunting…)太多了。。又不会高深的数据结构，所以只能硬着头皮学
网上blog这么多，还是wqs神仙本人的论文最好懂。。网上应该会有，这边就不放资源了

然后灵光一现就突然懂了

先上题

这道算是经典题了叭
传送门（小心点提交可能会被封号qaq

题意就不解释了
问题可以转换成求树上不相交的k+1k+1k+1条链的边权和的最大值

显然是树形dp啊
dp[opt][x][i]dp[opt][x][i]dp[opt][x][i],其中optoptopt表示xxx节点的度数(链上的)，所以只有可能等于0/1/20/1/20/1/2,xxx表示当前节点,iii表示以xxx为根节点的子树中有iii条链

然后就会有弄出一些转移方程

这里就不写了(自己推一下蛮简单的)

但是这样的时间复杂度是O(nk)\mathcal{O(nk)}O(nk)的，已经可以过掉60分了
然后大佬说这个函数是凸的
然后窝打了一张表发现是真的

那么下面就是今天重点了

然后我们可以发现可以用O(n)\mathcal{O(n)}O(n)的时间求出顶点的坐标
只要转移的时候记录一下现在的k是什么就好了

然后我们可以新定义一个函数f(x)=dp(x)−c×xf(x)=dp(x)-c\times xf(x)=dp(x)−c×x
很容易发现这让函数的顶点的横坐标往左移或者往右移了
发现了什么？这个东西就可以二分了
没错这个就是wqs二分了

于最后就一定能求得一个顶点是(k,f(k))(k,f(k))(k,f(k))
所以dp(x)=f(x)+k∗xdp(x)=f(x)+k*xdp(x)=f(x)+k∗x这个就是最终的答案了
时间复杂度O(nlog⁡k)\mathcal{O(n\log k)}O(nlogk)
是不是很简单？？？（一脸天真

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define N 300010using namespace std;
typedef long long LL;LL cnt, lst[N];struct Node{LL to, nxt;LL w;
}e[N << 1];struct Data {LL x, y;Data(LL X = 0, LL Y = 0) {x = X; y = Y;}inline bool operator < (const Data &o) const {return x < o.x || x == o.x && y > o.y;}inline Data operator + (const Data &o) const {return Data(x + o.x, y + o.y);}inline Data operator + (LL o) {return Data(x + o, y);}
}dp[3][N];inline void add(LL u, LL v, LL w) {e[++cnt].to = v;e[cnt].nxt = lst[u];e[cnt].w = w;lst[u] = cnt;
}inline Data nw(Data o, LL v) {return Data(o.x - v, o.y + 1);
}inline void dfs(LL x, LL fa, LL val) {dp[2][x] = Data(-val, 1);for (LL i = lst[x]; i; i = e[i].nxt) {LL son = e[i].to;if (son == fa) continue;dfs(son, x, val);dp[2][x] = max(dp[2][x] + dp[0][son], nw(dp[1][x] + dp[1][son] + e[i].w, val));dp[1][x] = max(dp[1][x] + dp[0][son], dp[0][x] + dp[1][son] + e[i].w);dp[0][x] = dp[0][x] + dp[0][son];}dp[0][x] = max(dp[0][x], max(nw(dp[1][x], val), dp[2][x]));
}int main() {LL n, k;scanf("%lld%lld", &n, &k);k++;LL r = 0;for (LL i = 1, x, y, z; i < n; ++i) {scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &z);add(x, y, z);add(y, x, z);r += abs(z);}LL l = -r;while (l <= r) {LL mid = l + r >> 1;memset(dp, 0, sizeof dp);dfs(1, 0, mid);if (dp[0][1].y <= k) r = mid - 1;else l = mid + 1;}memset(dp, 0, sizeof dp);dfs(1, 0, l);printf("%lld\n", l * k + dp[0][1].x);return 0;
}

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