作者丨小飞@知乎

来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/404326817

编辑丨3D视觉工坊

本篇主要介绍LOAM代码中有关lidar odometry部分对应的公式推导。包含特征点曲率计算公式，点到线和面距离求取公式，里程计优化求解公式以及一些坐标变换公式。LOAM代码版本为 https://github.com/laboshinl/loam_velodyne

（1）特征点曲率计算

相关代码：

该部分代码通过求取diffX * diffX + diffY * diffY + diffZ * diffZ 来近似表示曲率，通过曲率的大小来划分是角点和平面点。其中 _config.curvatureRegion 设为5，表示取该点左右各5个点作为邻域范围来求取曲率。因此pointWeight = -2 * _config.curvatureRegion = -10，带入循环公式中变为：

diffX = -10*_laserCloud[i].x + _laserCloud[i+1].x + _laserCloud[i-1].x + _laserCloud[i+2].x + _laserCloud[i-2].x + … + _laserCloud[i+5].x + _laserCloud[i-5].x

重新组合就变为如下式子：

diffX =（_laserCloud[i+1].x - _laserCloud[i].x）+ (_laserCloud[i-1].x - _laserCloud[i].x) + … + (_laserCloud[i+5].x - _laserCloud[i].x) + (_laserCloud[i-5].x - _laserCloud[i].x)

最终得到左右各5个点邻域的该点的diffX.

（2）点到线，面距离求解公式

相关代码：

按照算法流程，需要根据提取的特征点，来建立点到线和点到面的约束关系即点到线的距离 和 点到面的距离最小。代码中求取两个距离的原理公式如下：

按照上述所讲内容，结合代码（x0,y0,z0）代表上图中i点坐标，（x1,y1,z1）和 （x2,y2,z2）分别代表 j 和 l 点坐标。

同理，点到面的距离也可以按照法向量的方式来求取，相关代码如下：

结合代码带入上述公式，i 点坐标为代码中的 （pointSel.x, pointSel.y, pointSel.z）；j 点坐标为代码中的（tripod1.x, tripod1.y, tripod1.z）；l点坐标为代码中的（tripod2.x, tripod2.y, tripod2.z）；m 点坐标为代码中的（tripod3.x, tripod3.y, tripod3.z）。

那么

（3）里程计优化求解公式

在进行里程计求解公式推导前，需要了解其中几个重用的坐标系转换。

备注：感谢微信公众号「3D视觉工坊」整理。

其中transformToStart 对应论文中的公式

注意LOAM代码中point.intensity在预处理时被存储为(scanID+relTime)

transformToEnd 函数中就是先做了transformToStart ,再将点云全部都转换到一帧的结束时刻。

对于里程计的优化求解部分，我们先看一下整体思路：

LOAM中利用建立点到线 和点到面的距离最小值来作为约束方程，最后利用L-M非线性优化方法来求解这个非线性问题。对于L-M方法，用到的公式如下：

首先直接建立约束方程的是已经坐标转换后的点云坐标即X

那么根据链式法则，我们就可以先通过约束方程对坐标进行求偏导，然后再乘以坐标对变换中的rotX求偏导，即可得到最终的偏导求取结果。

首先根据约束方程对坐标量求偏导，我们上文已经建立了约束方程。

这里的la lb lc 就是点到线距离的函数对于X Y Z的偏导数，这里面可以通过导数的几何意义来理解，导数在几何意义上表示梯度。而梯度方向就是我们所求的距离函数的单位向量了，也就是下图的De 方向。

代入后就得到代码中的 la lb lc ，但这里推导的公式正负号也和代码中有所不同；同理，点到面约束方程求偏导也是按照此种方式求得。

最后一个公式为里程计累加，函数代码如下图：

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