简介：在很多交流电应用场合采用整流负载，即交流电通过整流之后带动实际的直流负载。那么此时从整流桥输入端来看，负载的阻抗是多少呢？由于整流过程总是伴随着非线性过程，所以推导求解整流阻抗具有一定的复杂性。本文通过一定的条件简化，研究了全波整流对应的等效阻抗的变化。

关键词：整流，阻抗，全波整流

▌01 整流负载阻抗

前几天，为了进行无线电能传输实验，对于整流电路对应的负载阻抗进行了实验研究。具体结果参见： 整流电路对应的阻抗是多少？ 。应用全桥电路对无线电能接收线圈输出的高频交流电进行整流，驱动后级的直流负载是大多数接受电路的结构，因此研究全桥整流负载电阻阻抗具有很大的理论和实际意义。

^{▲ 对应桥整流电路的负载阻抗}

根据F. Pellitteri 等人在论文 Experimental test on a Contactless Power Transfer system 给出的公式（4）指出对于全桥负载电阻为RLR_LRL时，从桥电路输入端口来看对应的等效电阻为：RL=8π2R1R_{L} = {8 \over {\pi ^2 }}R_1RL=π28R1

在整流电路对应的阻抗是多少？通过对于负载R1=100Ω时，全桥整流电路等效电阻测量为：93Ω左右，这与：RL=8π2×100=81ΩR_L = {8 \over {\pi ^2 }} \times 100 = 81\,\,\OmegaRL=π28×100=81Ω

计算出来的理论值相比，实测的电阻偏大。这部分的电阻有可能来自于整流桥电路本身的等效阻抗。那么，问题来了：上面的公式是如何推到出来的呢？

下面尝试一下这个等效的阻抗公式的推导过程。

▌02 全桥整流负载阻抗

1.推导方法

（1）计算原理

求解全桥整流等效电阻采用在整流电路对应的阻抗是多少？测量相同的方式，假设一个带有内阻R0R_0R0的正弦高频信号源发送电压U1U_1U1。当连接到整流负载之后，测量输出电压U1U_1U1，那么整流负载等效电阻为：

Req=U2U1−U2R0R_{eq} = {{U_2 } \over {U_1- U_2 }}R_0Req=U1−U2U2R0

^{▲ 使用带有内阻信号源来测量负载阻抗}

上面公式中的U0,U1U_0 ,U_1U0,U1都使用信号的有效值。

下图显示了在前面实验中实测的U2的波形，可以看到由于存在滤波电容U_2的波形，可以看到由于存在滤波电容U2的波形，可以看到由于存在滤波电容C_1$，实测整流桥上的电压波形呈现被限钳位的电压波形。

^{▲ 整流桥中波形}

（2）条件简化

为了方便理论推导，做如下的简化假设：

假设桥电路中的二极管是理想二极管：正向导通电阻、电压都为0；反向电阻为无穷大；
信号的周期T0T_0T0远远小于整流之后的负载C1⋅R1C_1 \cdot R_1C1⋅R1对应的时间周期；

在上述简化假设条件下，桥电路上的电压波形为梯形正弦波。

^{▲ 桥电路施加电压波形}

上面假设信号源U1=sin⁡(t)U_1 = \sin \left( t \right)U1=sin(t)。假设在稳态时，整流滤波电容C1C_1C1上的电压为E1E_1E1。因此，等电压幅值超过±E1\pm E_1±E1时，就被电容上的电压钳位了。

根据给定的R0,R1R_0 ,R_1R0,R1推导出对应的桥电路的等效电阻ReqR_{eq}Req。

2.推导过程

为了方便，假设信号源输出的信号为f(t)=sin⁡(t)f\left( t \right) = \sin \left( t \right)f(t)=sin(t)
它对应的有效值为：2/2=0.707V\sqrt 2 /2 = 0.707V2/2=0.707V。

（1）求解E1

为了计算中“梯形正弦波”的有效值，则需要确定E1E_1E1的数值。根据前面的假设，根据电容上充电和放电相平衡的原理，确定E1E_1E1。

下面只对半个周期 t∈(0,π)t \in \left( {0,\pi } \right)t∈(0,π)过程进行分析。信号源在t∈(t1,π−t1)t \in \left( {t_1 ,\pi - t_1 } \right)t∈(t1,π−t1)时间段，通过R0R_0R0对于滤波电容进行充电，充电电荷为：

Qc=∫t1π−t1sin⁡(t)−E1R0dtQ_c = \int_{t_1 {\kern 1pt} }^{\pi - t_1 } {{{\sin \left( t \right) - E_1 } \over {R_0 }}dt}Qc=∫t1π−t1R0sin(t)−E1dt

在(0,π)\left( {0,\pi } \right)(0,π)过程中，滤波电容通过R1R_1R1放电，释放电荷：Qd=E1R1πQ_d = {{E_1 } \over {R_1 }}\piQd=R1E1π

根据Qd=QcQ_d = Q_cQd=Qc，以及E1=sin⁡(t1)E_1 = \sin \left( {t_1 } \right)E1=sin(t1)。可以得到关于E1E_1E1的方程：1R0∫arcsin⁡(E1)π−arcsin⁡(E1)[sin⁡(t)−E1]dt=E1R1π{1 \over {R_0 }}\int_{\arcsin \left( {E_1 } \right)}^{\pi - \arcsin \left( {E_1 } \right)} {\left[ {\sin \left( t \right) - E_1 } \right]dt} = {{E_1 } \over {R_1 }}\piR01∫arcsin(E1)π−arcsin(E1)[sin(t)−E1]dt=R1E1π

从方程结构来看，对应E1的数值至于R0/R1的比值有关系。假设：γ=R1R0\gamma = {{R_1 } \over {R_0 }}γ=R0R1

那么方程变为：
∫arcsin⁡(E1)π−arcsin⁡(E1)[sin⁡(t)−E1]dt=E1⋅πγ\int_{\arcsin \left( {E_1 } \right)}^{\pi - \arcsin \left( {E_1 } \right)} {\left[ {\sin \left( t \right) - E_1 } \right]dt} = {{E_1 \cdot \pi } \over \gamma }∫arcsin(E1)π−arcsin(E1)[sin(t)−E1]dt=γE1⋅π

上面这个方程是否存在解析解？现在不得而知。不过可以通过数值解的方式来获得E1E_1E1的数值。

相关的数值求解可以参照第三部分的：数值求解E1。

（2）求解正弦梯形波的有效值

假设E1,t1E_1 ,t_1E1,t1已知，E1=sin⁡(t1)E_1 = \sin \left( {t_1 } \right)E1=sin(t1)。求对应的正弦梯形波f1(t)f_1 \left( t \right)f1(t)的有效值。根据对于周期波形，有效值的定义：

E12=1T1∫0T1f12(t)dtE_1^2 = {1 \over {T_1 }}\int_0^{T_1 } {f_1^2 \left( t \right)dt}E12=T11∫0T1f12(t)dt

根据sin(t)波形的对称性，只需要在四分之一周期进行求解(0,π/2)\left( {0,\pi /2} \right)(0,π/2)即可。

^{▲ 求解有效过程}

经过整理，对于不同的E1∈(0,1)E_1 \in \left( {0,1} \right)E1∈(0,1)，对应的正弦梯形波的有效值为：

U12(E1)=1π[arcsin⁡(E1)−E1⋅(1−E12)12]+2E12π[π2−arcsin⁡(E1)]U_1^2 \left( {E_1 } \right) = {1 \over \pi }\left[ {\arcsin \left( {E_1 } \right) - E_1 \cdot \left( {1 - E_1^2 } \right)^{{1 \over 2}} } \right] + {{2E_1^2 } \over \pi }\left[ {{\pi \over 2} - \arcsin \left( {E_1 } \right)} \right]U12(E1)=π1[arcsin(E1)−E1⋅(1−E12)21]+π2E12[2π−arcsin(E1)]

下面给出了不同的E1下对应的波形的有效值。

^{▲ 对于不同的E1对应波形的有效值}

3.归一化计算

为了方便讨论，做以下归一化的假设：

信号源的波形为：f(t)=sin⁡(t)f\left( t \right) = \sin \left( t \right)f(t)=sin(t)，因此，信号源的有效值：U1=2/2U_1 = \sqrt 2 /2U1=2/2 V。
信号的电阻R0=1R_0 = 1R0=1欧姆，所以负载为R1R_1R1时，对应的γ=R1\gamma = R_1γ=R1。

此时通过求到的E0E_0E0，可以得到等效的电阻为：

Req=E02/2−E0R_{eq} = {{E_0 } \over {\sqrt 2 /2 - E_0 }}Req=2/2−E0E0

到此为止，由于求取E1无法写出具体的解析公式，因此后面针对不同的R1,R0，通过数值求解来分析等效电阻与R1的关系。

▌03 数值求解

1.求解E1

给定γ=R1R0\gamma = {{R_1 } \over {R_0 }}γ=R0R1，求解滤波电容上的电压E1∈(0,1)E_1 \in \left( {0,1} \right)E1∈(0,1)。

根据2.2.1中推导出的E1的方程，方程的积分值为：

^{▲ 方程左边求解}

这是一个随着E1单调低阶的函数，取值范围（0,2）。

方程右边是一个与E1成正比的线性函数。这两个函数的交点就是E1的取值。因此一旦给定，γ=R1/R0\gamma = R_1 /R_0γ=R1/R0，便可以通过二分方法求解出对应的E1的数值解。

下面是假设γ=1\gamma = 1γ=1时，对应的方程左右分别对应E1的曲线，它们之间的交点就是方程的唯一的解：E1的取值。

^{▲ 方程左右函数曲线}

二分方法求取的E1的程序：

f1 = lambda x: 2*(1-x**2)**0.5 - x*(pi-2*arcsin(x))def e1func(gama):leftv = 0rightv = 1for i in range(100):midv = (leftv+rightv)/2e1 = f1(midv)e2 = pi * midv / gamaif e1 == e2:return midvelif e1 < e2:rightv = midvelse: leftv = midvreturn (leftv+rightv)/2

对于γ\gammaγ取值（0,10）范围内，求取的E1的取值为：

^{▲ 不同的Gama对应的E1的取值}

2.归一化条件下计算等效电阻

根据在2.3归一化条件下，通过数值求解计算不同的R1R_1R1取值下，所得到的等效电阻ReqR_{eq}Req。下面给出了R1从0 变化到10范围内，对应的等效电阻取值。

^{▲ 不同R1取值下对应的等效电阻}

从上面曲线可以看出，在很大的范围之内，整流负载的阻抗与实际负载R1之间近似呈现为线性。

由于存在着一定的非线性，所以整理负载阻抗与R1之间的比例与R1的取值有关系。下面给出了对应不同的R1，等效阻抗与R1比值的变化。

^{▲ 不同R1下对应的等效电阻与R1的比值}

由此可见，在 整流电路对应的阻抗是多少？ 给出的8π2=0.8106{8 \over {\pi ^2 }} = 0.8106π28=0.8106

应该只是对应某一个特定R1时对应的等效负载与R1的比值。

▌结论

1.渐进关系

通过理论分析，全桥整流电路加上滤波电容以及负载电阻情况下，求解对外的等效电阻。这个等效电阻与实际直流负载电阻R1之间的关系呈现了大体线性的关系。

当负载电阻远远大于信号源的内阻，比如大于10倍以上，等效电阻与R1之间的线性比例大约在0.65左右。

如果负载电阻相对于信号源的内阻比较接近，此时等效电阻与R1之间存在着比较明显的非线性关系。

当负载电阻区趋于无穷大，等效电阻与R1之间的比值趋于1:2。

^{▲ R1取值非常大时，等效电阻与R1之间的比值曲线}

2.当R1趋近于0

有趣的是当R1趋近0，等效电阻与R1的比值似乎趋近0.9的数值。具体计算的结果大约是0.900314。

在对比一下本文一开始得到的RL=8π2R1R_L = {8 \over {\pi ^2 }}R_1RL=π28R1，将比值8/π28/\pi ^28/π2开方：

8/π2=22π=0.900316\sqrt {8/\pi ^2 } = {{2\sqrt 2 } \over \pi } = 0.9003168/π2=π22=0.900316

^{▲ 当R1趋近于0时，对应的等效电阻与R1的比值}

此时，可以看到其中奇妙的8/π28/\pi ^28/π2终于出现了。不过这个比值与本文推导过程之间关系细节是什么呢？

好吧，就留下这个开放的问题吧。

^{▲ 100W 20Ω功率电阻}

※ 附录

1.主要求解函数

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST2.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-02-10
#
# Note:
#============================================================from headm import *#------------------------------------------------------------
f1 = lambda x: 2*(1-x**2)**0.5 - x*(pi-2*arcsin(x))def e1func(gama):leftv = 0rightv = 1for i in range(100):midv = (leftv+rightv)/2e1 = f1(midv)e2 = pi * midv / gamaif e1 == e2:return midvelif e1 < e2:rightv = midvelse: leftv = midvreturn (leftv+rightv)/2#------------------------------------------------------------
def e0func(e):t1 = arcsin(e)v1 = (t1-e*(1-e**2)**0.5)/piv2 = 2*e**2*(pi/2-t1)/pireturn sqrt(v1+v2)#------------------------------------------------------------
def reqfunc(e):return e/(sqrt(2)/2-e)#------------------------------------------------------------
r1 = linspace(0.01, 10, 100)
e1 = [e1func(g) for g in r1]
e0 = [e0func(e) for e in e1]
req = [reqfunc(e) for e in e0]
ratio = [v1/v2 for v1,v2 in zip(req, r1)]printf(req)plt.plot(r1, ratio)
plt.xlabel("R1")
plt.ylabel("Ratio")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST2.PY
#============================================================

2.求解E1方程的动图

E1 = linspace(0, 1, 100)
e1left =[f1(v) for v in E1]pltgif = PlotGIF()
plt.clf()
plt.draw()
plt.pause(.5)for g in linspace(0.01, 10, 100):e1right = [pi/g * v for v in E1]x = e1func(g)y = f1(x)data = array([[x, y],[x, -0.05]])plt.clf()plt.plot(E1, e1left, label='EQ. Left')plt.plot(E1, e1right, label='EQ. Right')plt.xlabel("E1")plt.ylabel("EQ")plt.grid(True)plt.legend(loc="upper right")plt.axis([0, 1, -0.05, 2.1])plt.title("Gama:%5.2f"%g)plt.scatter(data[:,0], data[:,1], s=35, c='red')plt.plot(data[:,0], data[:,1], 'y--', linewidth=1)plt.text(x, y, '(%3.2f,%3.2f)'%(x,y))plt.tight_layout()plt.draw()plt.pause(.001)pltgif.append(plt)pltgif.save(r'd:\temp\1.gif')
printf('\a')

■ 相关文献链接:

整流电路对应的阻抗是多少？
Experimental test on a Contactless Power Transfer system

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全桥整流等效负载阻抗是多少？