图论 ---- F. Useful Edges(不等式移项优化预处理 + 路径和简单路径的区别 + 最短路)

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题目大意：

给出由 nnn 个点构成的无向图，再给出 qqq 个三元对 (u,v,l)( u , v , l )(u,v,l)，现在问有多少条边 (i,j)( i , j )(i,j) 可以和至少一个三元对匹配，可以匹配的条件是：

从点 uuu 到点 vvv 且包含边 (i,j)( i , j )(i,j) 的最短路的长度需要小于等于 lll

解题思路：

注意这里path指的是路径，你可以重复经过某些点
对于一条边我们看看它是否成立我们是这样看的就是
设
dist[i][j]dist[i][j]dist[i][j]为i到j之间的最短路
w[i][j]w[i][j]w[i][j]为i到j之间的边权
那么如果(i,j)(i,j)(i,j)这条边满足那么就存在一个(u,v,l)(u,v,l)(u,v,l)使得满足dist[u][i]+w[i][[j]+dist[j][v]≤ldist[u][i]+w[i][[j] + dist[j][v]\leq ldist[u][i]+w[i][[j]+dist[j][v]≤l
但这个循环枚举是O(n4)O(n^4)O(n4)的考虑优化
对这个不等式移项
dist[u][i]+w[i][[j]≤l(u,v)−dist[j][v]dist[u][i]+w[i][[j] \leq l_{(u,v)}-dist[j][v]dist[u][i]+w[i][[j]≤l(u,v)−dist[j][v]

我们看到左右两边都是333个变量。
那么我们可以枚举i,j,ui,j,ui,j,u,那么就是求一个vvv使得右边大过左边这个定值
那么对于右边我们可以先预处理出来,我们枚举u,ju,ju,j去找到最大值就好了！！

AC code

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 500010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {read(first);read(args...);
}int n, q, m;
ll dist[605][605];
ll G[605][605];
ll maxld[605][605];
ll mp[605][605];
int main() {IOS;ms(dist,LLF);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++ i) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;dist[u][v] = dist[v][u] = w;mp[u][v] = mp[v][u] = w;}for(int k = 1; k <= n; ++ k)for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = 1; j <= n; ++ j) if(i == j) dist[i][j] = 0;else dist[i][j] = min(dist[i][k]+dist[k][j],dist[i][j]);// for(int i = 1; i <= n; ++ i)//   for(int j = 1; j <= n; ++ j)// cout << dist[i][j] << " \n"[j == n];cin >> q;while(q --) {int u, v, l;cin >> u >> v >> l;G[u][v] = G[v][u] = l;}for(int i = 1; i <= n; ++ i) // 枚举ufor(int j = 1; j <= n; ++ j) { // 枚举jmaxld[i][j] = 0;for(int k = 1; k <= n; ++ k) { //枚举vif(k == i) continue;maxld[i][j] = max(G[k][i]-dist[k][j],maxld[i][j]);}}int ans = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i) { for(int j = i+1; j <= n; ++ j) {if(!mp[i][j]) continue;bool flag = 0;for(int k = 1; k <= n; ++ k) {if(dist[k][j]+mp[i][j]<=maxld[k][i])flag = 1;if(flag) break;}ans += flag;}}cout << ans;return 0;
}