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前言：图像修复是一项非常有意义的研究工作，比如我们生活中的照片被污染，再比如名贵字画、国家文物壁画等珍贵物品被破坏，这些都需要图像修复工作来完成。

简介：整体变分（Total Variation）的方法最早是用来对受到噪声污染的图像进行降噪的，在这方面的应用最早是由L.Rudin和S.Osher等人在1992年提出的，2002年Chan等人把TV模型推广到图像修补中，并提出了基于TV模型的图像修补方法，同时说明了TV修补模型的缺点，进一步提出了CDD修补模型（curvature driven diffusions），此修补模型改正了TV修补模型的缺陷，对图像的修补具有很好的效果。

一、TV模型介绍

如图所示：D区域是被污染区（待修复），E是D的邻域

下面直接给出TV模型的数学公式：

                      ①

其中：u是图像中的像素点，λ为设定的参数

在该模型基础上，考虑到噪声的影响，边界E区域产生的噪声不能超过一定的范围；根据最佳猜测和贝叶斯理论，要求图像u在满足约束条件下使它的能量泛函最小，因此约束条件记做：公式②。根据拉格朗日乘数法，将①②方程转化成为一个求极值的方程，对其求导数并令其等于0，可得到如下方程：

其中：div代表散度（关于图像中的散度解释，可见此处：在图像处理中，散度 div 具体的作用是什么？）

由于图像是离散的数值，故可看做如下构成。其中：O为污染点，邻域B=(N,S,W,E)，半像素邻域B' =(n,s,w,e)。

因此，离散化后可得到表达式：

化简得到最终的表达式：

其中：λe(O)为中心O处的λ参数，与上λe一致；uo为O点修复后的像素，另一个为O点修复前的原始像素。将上式迭代，知道达到较好的修复效果。

到此，TV模型的理论推导已完成。接下来就是要编程实现其功能。

matlab源码实现：

1.  1 img=double(imread('lena.jpg'));
    2 mask=imread('mask.jpg');
    3 a1=find(mask>127);
    4 b1=find(mask<=127);
    5 mask(a1)=0;
    6 mask(b1)=255;
    7 [m n]=size(img);
    8 for i=1:m
    9     for j=1:n
   10         if mask(i,j)==0
   11            img(i,j)=0;
   12         end
   13     end
   14 end
   15 imshow(img,[]);     %合成的需要修复的图像
   16
   17 lambda=0.2;
   18 a=0.5;%避免分母为0
   19 imgn=img;
   20 for l=1:1500         %迭代次数
   21     for i=2:m-1
   22         for j=2:n-1
   23             if mask(i,j)==0     %如果当前像素是被污染的像素，则进行处理
   24                 Un=sqrt((img(i,j)-img(i-1,j))^2+((img(i-1,j-1)-img(i-1,j+1))/2)^2);
   25                 Ue=sqrt((img(i,j)-img(i,j+1))^2+((img(i-1,j+1)-img(i+1,j+1))/2)^2);
   26                 Uw=sqrt((img(i,j)-img(i,j-1))^2+((img(i-1,j-1)-img(i+1,j-1))/2)^2);
   27                 Us=sqrt((img(i,j)-img(i+1,j))^2+((img(i+1,j-1)-img(i+1,j+1))/2)^2);
   28
   29                 Wn=1/sqrt(Un^2+a^2);
   30                 We=1/sqrt(Ue^2+a^2);
   31                 Ww=1/sqrt(Uw^2+a^2);
   32                 Ws=1/sqrt(Us^2+a^2);
   33
   34                 Hon=Wn/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
   35                 Hoe=We/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
   36                 How=Ww/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
   37                 Hos=Ws/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
   38
   39                 Hoo=lambda/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
   40                 value = Hon*img(i-1,j)+Hoe*img(i,j+1)+How*img(i,j-1)+Hos*img(i+1,j)+Hoo*img(i,j);
   41                 imgn(i,j)= value;
   42             end
   43         end
   44     end
   45     img=imgn;
   46 end
   47 figure;
   48 imshow(img)

   opencv源码实现：

   
   

2.  1 #include <iostream>
    2 #include <stdlib.h>
    3 #include <cv.h>
    4 #include <math.h>
    5 #include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
    6 #include <opencv2/core/core.hpp>
    7 #include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
    8
    9 using namespace cv;
   10
   11 int main(void)
   12 {
   13     //读取原始图像及掩模图像
   14     IplImage *src_uint8 = cvLoadImage("src.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
   15     IplImage *mask = cvLoadImage("mask.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
   16     //合成需要修复的图像
   17     int M = mask->height;
   18     int N = mask->width;
   19     int i, j;
   20     CvMat *src = cvCreateMat(M, N, CV_32FC1);//存放浮点图像
   21     cvConvert(src_uint8, src);
   22     for (i = 0; i < M; i++)
   23     {
   24         for (j = 0; j < N; j++)
   25         {
   26             if ((mask->imageData + i * mask->widthStep)[j] < 0)//理解此处判别条件，根据情况自行更改
   27             {
   28                 ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] = 0.0;
   29             }
   30             if (((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] < 0)
   31             {
   32                 ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] += 256.0;
   33             }
   34         }
   35     }
   36     cvConvert(src, src_uint8);
   37     cvShowImage("需要修复的图像", src_uint8);
   38     cvWaitKey(0);
   39
   40     double t = getTickCount();//当前滴答数
   41     float lambda = 0.2;
   42     float delta = 0.5;
   43     float UO, UN, UW, US, UE, UNE, UNW, USW, USE;
   44     float Un, Ue, Uw, Us;
   45     float Wn, We, Ww, Ws;
   46     float Hon, Hoe, How, Hos;
   47     float Hoo;
   48     int iteration = 500;
   49     while(iteration)
   50     {
   51         for (i = 1; i < M - 1; i++)
   52         {
   53             for (j = 1; j < N - 1; j++)
   54             {
   55                 if (((char *)(mask->imageData + i * mask->widthStep))[j] < 0)//坏损区
   56                 {
   57                     UO = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j];
   58                     UN = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j];
   59                     US = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j];
   60                     UE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j+1];
   61                     UW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j-1];
   62
   63                     UNE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j+1];
   64                     UNW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j-1];
   65                     USE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j+1];
   66                     USW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j-1];
   67
   68                     Un = sqrt((UO - UN) * (UO - UN) + ((UNW - UNE) / 2.0) * ((UNW - UNE) / 2.0));
   69                     Ue = sqrt((UO - UE) * (UO - UE) + ((UNE - USE) / 2.0) * ((UNE - USE) / 2.0));
   70                     Uw = sqrt((UO - UW) * (UO - UW) + ((UNW - USW) / 2.0) * ((UNW - USW) / 2.0));
   71                     Us = sqrt((UO - US) * (UO - US) + ((USW - USE) / 2.0) * ((USW - USE) / 2.0));
   72
   73                     Wn = 1.0/sqrt(Un * Un + delta * delta);
   74                     We = 1.0/sqrt(Ue * Ue + delta * delta);
   75                     Ww = 1.0/sqrt(Uw * Uw + delta * delta);
   76                     Ws = 1.0/sqrt(Us * Us + delta * delta);
   77
   78                     Hon = Wn/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
   79                     Hoe = We/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
   80                     How = Ww/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
   81                     Hos = Ws/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
   82
   83                     Hoo = lambda/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
   84                     ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j]=(Hon*UN+Hoe*UE+How*UW+Hos*US+Hoo*UO);
   85                 }
   86             }
   87         }
   88         iteration--;
   89     }
   90     cvConvert(src, src_uint8);
   91     t = ((double)getTickCount() - t)/getTickFrequency();
   92     printf("算法用时：%f秒\n", t);
   93     cvShowImage("修复结果", src_uint8);
   94     cvWaitKey(0);
   95 }

由于迭代次数和浮点数的运算，使得算法时间较长，效果如下，仔细观察可以看出仍有细节处修复效果不是很理想。在TV模型之后，又出现了许多改进的TV模型，在速度和效果上都比理想，此处不深入探讨。