多项式模2运算及求逆元

在GF(2⁸)域上，多项式相加相减结果相同，均为异或操作

x³+x²+1 对应的二进制为 1101 用整数表示就是 13

x²+x+1 对应的二进制为 0111　　用整数表示就是 7

x³+x²+1 + x²+x+1 = x³+2x²+x+2 = x³+x 等同于 1101⊕0111 = 1010 用整数表示就是 10 既是 13⊕7

def add(a, b):return a^bdef sub(a, b):return a^b

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在GF(2⁸)域上，多项式乘法

先模拟一下模2乘法运算

getBit的实现，乘法的实现

'''num为正整数并且小于32位
'''def getBit(num):bit = 0top_bit = 1for i in range(32):if top_bit & num != 0:bit = i + 1top_bit <<= 1return bit

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# a、b为二进制的整数表示
def multiply(a, b):len1 = getBit(a)   # getBit函数返回 此整数表示的二进制的长度len2 = getBit(b)     #  假设 a=10 表示的二进制为 1010  则len1=4res_len = int(len1 + len2 - 1)res = 0x0for i in range(len1):temp = b * (a & 0x1)  # 每次a的第一位与b相乘temp <<= i  # 结果左移res ^= temp  # 异或 模2a >>= 1return res

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除法的实现

'''多项式模2除法   X^3 / X^3+X+1   商 1 余 X+1  与整数相除略有不同返回值为整数 （商， 余数）
'''
def divide_and_mod(a, b):len1 = getBit(a)len2 = getBit(b)len3 = len1 - len2if a < b:if len3 == 0:return (1, a^b)else:return (0, a)top_bit = 1;top_bit <<= (len1 - 1)b <<= (len1 - len2)quotient = 0  # 商remainder = 0  # 余数# 除法运算，最后不包含for i in range(len3):quotient <<= 1if top_bit & a != 0:  # a最高位为1,则商为1quotient ^= 1a ^= belse:a ^= 0top_bit >>= 1b >>= 1# 最后一次运算与之前的运算规则不同，需要比较大小quotient <<= 1if a < b:remainder = aelse:quotient ^= 1remainder = a ^ breturn (quotient, remainder)

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求最大公因式及逆元有欧几里得算法和扩展欧几里得算法得到

def divide(a, b):q, r = divide_and_mod(a, b)return qdef mod(a, b):q, r = divide_and_mod(a, b)return rdef gcd(a, b):r = mod(a, b)while r != 0:a = bb = rr = mod(a, b)return bdef findModInverse(a, m):if gcd(a, m) != 1:return Nonex1, x2 = 1, 0y1, y2 = 0, 1r = 1while r != 0:q = divide(m ,a)r = mod(m, a)x1, y1 = sub(x1, multiply(q, x2) ), sub(y1, multiply(q, y2))x1, x2 = x2, x1y1, y2 = y2, y1m, a = a, rreturn y1

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转载于:https://www.cnblogs.com/YKang/p/7663737.html

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