将一个一维数组转化为二进制表示矩阵。例如_算法之矩阵最大区域问题

2024-04-09 03:48:44

例如：给定一个m*m(0<n)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。或者给出一个柱形矩阵求最大子矩阵的最大值。

首先我们需要了解一下最大字段和问题。

最大子段和问题

给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和

$sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]$ 最大，其中

$i>=0,i<n,j>=i,j<n$

方法一：暴力求解法。略过

方法二：使用记忆递推方式进行计算。

求出所有从

$[0,i]$ 位置的和，记录在数组

$d$ 中。对于

$[i,j]$ 区间和的计算可以使用

$d[j]-d[i-1]$ ，比较所有的区间大小，结算最终结果。

方法三：动态规划。

令

$b[j]$ 表示从

$a[0,1,...,j]$ 的最大子段和。

$b[j]$ 的当前值只有两种情况:

最大子段一直连续到

$a[j]$ ；
以
$a[j]$ 为起点的子段，因为如果不是第一种情况，则情况一肯定为负，舍去。

由此我们得出

$b[j]$ 的状态转移方程为：

$b[j]=max(b[j-1]+a[j], a[j])$

矩阵最大区域问题

首先我们需要明白子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵，而子矩阵所在的行列都是在紧挨着的。

例如

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix} A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \end{bmatrix}$

$A$ 矩阵有n行m列，假设从

$r_i$ ~

$r_j$ 行，

$c_i$ ~

$c_j$ 列是最大子矩阵。

使用暴力求解的方法，时间复杂度是一个很大很大的值，所以考虑动态规划。

对于

$A$ 矩阵，那么我们将从第

$r_i$ 行到第

$r_j$ 行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：

$(a_{ri,0}+……+a_{rj,0}, a_{ri,1}+……+a_{rj,1}, ……,a_{ri,n}+……+a_{rj,n})$

由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题，到此我们已经将问题转化为最大子段和问题了。

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