文档结构
- 文档表示
- 距离度量
KD树
- 原理
  - 构建
  - 查询
- 复杂度
- KD树的KNN
- KD树的逼近KNN
- 不适用高维数据
LSH
- LSH潜在的问题
- LSH算法
- 复杂度
- 概率逼近
- 多表

文档结构

文档表示

词袋模型：有一些词，比如“的”，“吧”出现的频率很高，但是这些词意义不大。
tf-idf：在该文档局部出现的频率高，在全部文档全局出现的频率低。

距离度量

常见的距离度量有：

欧氏距离：d=∑Kk=1(x1k−x2k)2−−−−−−−−−−−−−−√d=\sqrt{\sum_{k=1}^K(x_{1k}-x_{2k})^2}
曼哈顿距离：d=∑Kk=1|x1k−x2k|d=\sum_{k=1}^K|x_{1k}-x_{2k}|
切比雪夫距离：d=maxk|x1k−x2k|d=\max_k |x_{1k}-x_{2k}|
汉明距离：两个等长的字符串将一个变成另外一个所需的最小替换数
余弦相似性：d=1−x1⋅x2|x1||x2|d = 1-\frac{x_1 \cdot x_2 }{|x_1| |x_2|}
内积：d=x1⋅x2d = x_1 \cdot x_2
核函数：d=K(x1,x2)d = K(x_1,x_2)
相关系数：d=Cov(x1,x2)σx1σx2d = \frac{Cov(x_1,x_2)}{\sigma_{x_1}\sigma_{x_2}}

不同的特征分布范围不同，对于变化范围很大的特征计算距离的时候要乘以相对较小的系数，对于变化范围小的特征计算距离的时候要乘以相对较大的系数。否则距离就会被变化范围较大的特征统治。另一种做法是先对源数据做归一化。

一般的欧式距离如下：

d(x,y)=||(x−y)T(x−y)||

d(x,y) =|| (x-y)^T(x-y) ||

考虑权重后的欧式距离如下，AA是对角阵，对角线上的元素代表该特征上的距离乘数：

d(x,y)=||(x−y)TA(x−y)||

d(x,y) =|| (x-y)^TA(x-y) ||

对于余弦相似性，需要注意几点：

不是合适的距离度量，不符合三角不等式（两边之和大于第三边）
计算稀疏向量的内积很有效率

对于是否需要scale向量，需要考虑下面几点：

如果不scale的话，那么对同样的两篇文章，重复其内容会导致相似性变大，这与常理不符合。
scale的话，会忽视文章的长度，比如一篇科技论文的相似性和一篇微博的相似性会很高，但是建议阅读科技论文的读者去阅读微博是不大符合常理的。
通常的做法是，cap maximum word counts，也就是设置最大的单词数
以文档为例，对于文档的内容可以scale以忽略文档长度的影响，对于文档的读者数不可以scale因为它是具有切实意义的特征。

KD树

brute-force搜索的KNN复杂度太高，单次1NN的复杂度是O(N)O(N)，单次KNN的复杂度是O(NlogK)O(N\log K )。如果N很大，查询次数很多的话，那么效率很低。

原理

KD树通过不断划分样本到不同的子空间，构建二叉树的结构，通过剪枝实现了效率更高的查询，在低维空间表现较好。

构建

确定split特征（更宽更广的特征；alternating）
确定split的特征值（median；center point of box）
split数据到两部分
对分支的数据递归构建KD树直到到达停止条件（min leaf nodes; min box width）

每个node上需要记录以下信息：

split的特征
split的特征值
该node以下包含的节点区域

查询

由根节点从上到下找到对应包含查询点的叶节点
计算该区域内的点到查询点的最小距离
回溯（backtrack）其他分支，如果该分支区域与到查询点最小距离构成的圆相交，那么进一步深入该区域查询；如果不相交，那么对该分支剪枝继续回溯，直到到达根节点。

复杂度

构建的复杂度：O(NlogN)O(N\log N)
单次查询的复杂度：O(logN)→O(N)O(\log N) \rightarrow O(N)，复杂度与维度是指数关系。

KD树的KNN

保留距离的时候，只需要把1NN中的离查询点最小的距离改成离查询点最小的第K个距离即可。

KD树的逼近KNN

实际计算的时候，假设已获得的离查询点最近的距离是rr，那么剪枝的标准由d>rd>r变成d>r/α（α>1）d>r/\alpha（\alpha>1），相当于更容易剪枝。

这样做，虽然可能找不到最近的NN，但是可以保证一旦我们找到的NN距离是rr，那么没有其他点的距离小于r/αr/\alpha。实际中，我们定义的向量表示、距离度量都不一定是百分百地反映其本质的，所以逼近KNN通常可以取得很好的结果，关键更容易剪枝，实现了更高的查询效率。

不适用高维数据

查询的复杂度随维度上升指数增长，通常要求N>>2dN>>2^d。
距离对不相关的特征很敏感，高维空间中每个点都分离很远，最短距离构成的圆和很多点都相交。
需要特征选择，判断哪个特征更优。

LSH

KD树实现检索有以下缺点：

实现起来没那么有效
复杂度随特征维度指数增加，不适合高维情况
高维情况下，一旦发现了最近的点，那么以到最近的点距离为半径的超球体几乎与大多超多面体相交，导致剪枝效率不高。

LSH通过建立hash表，将数据分散到不同的部分，检索的时候只需要检索hash到的那部分的点即可。该方法提供了大概率上发现NN的方法。进一步提高NN概率的方向有两个：在当前hash表内，不仅检索当前的部分还检索周围的部分；建立多个hash表。

如下图所示，根据点在直线上下进行hash，将数据分为两部分，检索的时候只需要检索对应hash后的那部分的数据即可。

LSH潜在的问题

LSH潜在的问题如下：

怎么找到好的直线（好的hash函数）
最坏的情况怎么样
hash后的部分可能包含很多点，这样进一步检索的复杂度仍然很大

针对第一个问题，随机划分即可。在随机划分下，针对第二个问题，用一条直线划分，最坏情况的概率是θπ\frac{\theta}{\pi}。θ\theta代表NN点距离样本点的夹角。

针对第三个问题，那我多用几条直线划分，每个bin中的点就小了。

如果想进一步提高精度的话，在计算能力范围内在bin的周围多检索几个bin就可以了。

LSH算法

复杂度

LSH构建hash表的复杂度为：hash表的个数*超平面的个数*数据的维度*训练数据

LSH构建hash表后检索的复杂度为：hash表的个数*表中检索bin的个数*每个bin的数据

概率逼近

多表

如果检测三个bin，有两种方法：

建立一个表，找到检索点对应的bin后，在其周围找到两个bin。
建立三个表，每个表各找一个bin。

一般来说，当hash表中的直线（位数）越多时，第二种方法概率保证上效果更好，缺点是需要计算多个表，计算复杂度比较高。

实际中，我们一般固定bits的位数（一个hash表中划分超平面的个数，然后增大hash表的个数。

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