1. softmax 函数定义

用图表示 softmax 函数的话，如图 3-22所示。图 3-22中，softmax 函数的输出通过箭头与所有的输入信号相连。这是因为，从式（3.10）可以看出，输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响。

2. softmax 函数实现

在 IPython 中实现过程：

In [1]: import numpy as npIn [2]: a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])In [3]: exp_a = np.exp(a)In [4]: exp_a
Out[4]: array([ 1.34985881, 18.17414537, 54.59815003])In [5]: sum_exp_a = np.sum(exp_a)In [6]: sum_exp_a
Out[6]: 74.1221542101633In [7]: y = exp_a/sum_exp_aIn [8]: y
Out[8]: array([0.01821127, 0.24519181, 0.73659691])In [9]:

将其封装成函数显示为：

In [9]: def softmax(x):...:     exp_x = np.exp(x)...:     sum_exp_x = np.sum(exp_x)...:     y = exp_x/sum_exp_x...:     return y...:     In [10]: a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])In [11]: softmax(a)
Out[11]: array([0.01821127, 0.24519181, 0.73659691])In [12]:

3. softmax 函数缺陷

softmax 函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大。比如，e¹⁰ 的值会超过 20000，e¹⁰⁰ 会变成一个后面有 40 多个 0 的超大值，e¹⁰⁰⁰ 的结果会返回一个表示无穷大的 inf 。如果在这些超大值之间进行除法运算，结果会出现“不确定”的情况，也就是人们常说的发生溢出问题。

4. softmax 函数改进

式（3.11）说明，在进行 softmax 的指数函数的运算时，加上（或者减去）某个常数并不会改变运算的结果。这里的 C 可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。我们来看一个具体的例子。

In [13]: a = np.array([1010, 1000, 990])In [14]: np.exp(a)/ np.sum(np.exp(a))
Out[14]: array([nan, nan, nan])In [16]: c = np.max(a)In [17]: c
Out[17]: 1010In [18]: a - c
Out[18]: array([  0, -10, -20])In [19]: np.exp(a-c)/np.sum(np.exp(a-c))
Out[19]: array([9.99954600e-01, 4.53978686e-05, 2.06106005e-09])In [20]:

如该例所示，通过减去输入信号中的最大值（上例中的 c ），我们发现原本为 nan （not a number，不确定）的地方，现在被正确计算了。综上，我们可以像下面这样实现 softmax 函数。

In [22]: def softmax(a):...:     c = np.max(a)...:     exp_a = np.exp(a-c)...:     sum_exp_a = np.sum(exp_a)...:     y = exp_a / sum_exp_a...:     return y...:     In [23]:

5. softmax 函数特征

使用 softmax() 函数，可以按如下方式计算神经网络的输出。

In [5]: a = np.array([0.3, 2.9 ,4.0])In [6]: y = softmax(a)In [7]: y
Out[7]: array([0.01821127, 0.24519181, 0.73659691])In [8]: np.sum(y)
Out[8]: 1.0In [9]:

如上所示，softmax 函数的输出是 0.0 到 1.0之间的实数。并且，softmax 函数的输出值的总和是 1。输出总和为 1 是 softmax 函数的一个重要性质。正因为有了这个性质，我们才可以把 softmax 函数的输出解释为“概率”。

比如，上面的例子可以解释成 y[0] 的概率是 0.018（1.8%），y[1] 的概率是 0.245（24.5%），y[2] 的概率是0.737（73.7%）。

这里需要注意的是，即便使用了 softmax 函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数（y = exp(x)）是单调递增函数。实际上，上例中 a 的各元素的大小关系和 y 的各元素的大小关系并没有改变。比如，a 的最大值是第 2 个元素，y 的最大值也仍是第 2 个元素。

一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即便使用 softmax 函数，输出值最大的神经元的位置也不会变。

因此，神经网络在进行分类时，输出层的 softmax 函数可以省略。在实际的问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的 softmax 函数一般会被省略。

6. 输出层神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。

对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。比如，对于某个输入图像，预测是图中的数字 0 到 9 中的哪一个的问题（10 类别分类问题），可以像图3-23 这样，将输出层的神经元设定为 10 个。

如图 3-23 所示，在这个例子中，输出层的神经元从上往下依次对应数字 0, 1, . . ., 9。此外，图中输出层的神经元的值用不同的灰度表示。这个例子中神经元 y2 颜色最深，输出的值最大。这表明这个神经网络预测的是 y2 对应的类别，也就是“2”。

参考：《深度学习入门：基于Python的理论与实现》

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