来源：数学职业家

爱因斯坦发表了他最为得意之作：广义相对论之后，便开始了他的“统一之梦”。大有“躲进小楼成一统，管他冬夏与春秋”之势，这一“统”就是三十余年，到死方休。尽管统一场论一词始于爱因斯坦，但其思想却是始于麦克斯韦和法拉第的电磁场理论。事实上，麦克斯韦方程就可算是电、磁、光三者的“统一”场理论。在爱因斯坦刚建立广义相对论的年代，弱相互作用和强相互作用尚未登场。爱因斯坦当时对前景应该是颇为乐观的，他也许想，电磁力和引力是如此相像：它们同样是远程起作用（上世纪30年代开始，就有了对近程起作用的、现在称之为“弱相互作用”的描述），都符合距离的平方反比率，只要能将电磁力融入广义相对论的引力框架中，不就大功告成，统一起来了吗？

众所周知，爱因斯坦几十年大统一梦的努力以失败而告终。以现在如笔者这样的马后炮观点看起来，爱因斯坦至少有两点缺失：一是低估了万有引力“桀骜不驯”的本性，二是选错了道，企图用经典场论，而不是量子场论来构建统一理论。也就是说，爱因斯坦忽略了更深入研究他自己参与创建的量子理论，也更忽略了量子理论后来几十年的发展。

当年，量子力学中有了薛定谔方程和海森堡的矩阵力学，万有引力有了爱因斯坦的场方程，电磁作用有经典的麦克斯韦方程组。三套马车分道扬镳、各行其是，的确应该将它们统一在一个单一的数学框架中，这是理论物理学家们喜欢玩的游戏。量子力学的诞生和引力的几何化，是当年物理界触目惊心的两大革命，经典电磁学呢，在成功建立了麦克斯韦理论的基础上，正在忙忙碌碌地走向应用。它造就了数不清的专利和许多杰出的工程师，揭开了电气工程中辉煌的一页。对二十世纪初期的物理界而言，大多数理论朝着完善和推广量子力学的方向发展，风云激荡的时势，造出了一个又一个的量子英雄，诺贝尔在天国里也只好忙着发奖给这些对他闻所未闻的奇怪理论作出贡献的科学家们。与电磁和量子领域非凡热闹的气氛相比较，广义相对论便显得孤独多了，它在默默地等待着天文学中更精确的实验验证资料。

三组理论并非全无关系，在解决具体物理问题时，有时候三者都需要考虑。但是，它们毕竟有它们自己的用武之地：量子理论适宜探索微观世界；广义相对论在宇宙中长袖善舞；电磁理论则成功地服务于人类的衣食住行。还有一件人们不应该忘记的大事，是与物理学的两大革命密切相关的，那就是在1945年8月6日，于日本广岛爆炸的第一颗原子弹。这次爆炸伤及了十几万无辜的生命，造成的后患难以数计，使得爱因斯坦后悔当年上书罗斯福促成制成原子弹一事。尽管如此，当时第一颗原子弹的技术毕竟是被同盟国所掌握，它的爆炸加速了日本的投降、二战的结束，否则，世界历史，中国历史，也许都要被改写了。

从物理学史的观点来回顾上世纪初物理界这两大革命理论，量子力学象征着现代物理的开始，而相对论则代表了经典理论的结束。爱因斯坦统一之梦失败的原因之一，恐怕正是因为他将经典的尾巴抓得太牢了，因而挡住了一部分他观察现代物理龙头的视线。爱因斯坦始终不能接受测不准原理等不同于经典现象的量子规律，尽管他扮演的的老顽固角色对量子力学的发展也起到了正面推动的作用，但是，参与反推和参与正推总是有所不同的。记得著名的物理学家、诺贝尔奖得主史蒂芬·温伯格对爱因斯坦曾经有过一句非常精辟的评论。原话记不清了，其大意是说，爱因斯坦所犯的最大错误不是他自己认为的“在场方程中引入了宇宙常数”，而是在于他成为了他自己的理论成就的“囚徒”。他痴迷于他的广义相对论的物理数学之美中，想用这个经典理论一统天下，包括统一他不接受的量子理论。但这在事实上是不可能的，事实上，量子理论的出现是一场比广义相对论更为深刻的革命，因为它跳出了经典思想的牢笼，走出了一条不确定性和决定性融合在一起的现代物理之路。

当然，人们可能会说，从量子场论出发的这条统一之路不也仍然是困难重重，尚未打通么？的确是这样，但是大多数的物理学家们认为这是一条正确的道路，也是一条无法回避的道路。试想，一个物理学的大统一理论可以不包括已经发展验证超过百年的量子理论么？即使我们尚不知道这条道路的终点在何时，但坚持走下去必将在历史上留下痕迹，也许是弯曲迂回的痕迹，但将来仍然是“有迹可寻”的。

爱因斯坦统一场论思想的提出主要来自广义相对论和黎曼几何。在广义相对论中，电磁力可以作为能量动量张量的一部分被考虑进场方程中。因而，最后得到的场方程的解：描述时空弯曲的度规张量中也包括了电磁场能量的贡献。换言之，电磁场的作用，即麦克斯韦方程，也可能可以像引力场那样被几何化。而黎曼几何中的度规是对称的、实数的，将它应用于引力理论时天衣无缝，但电磁场理论却似乎需要引进一些反对称的关键元素。因此，爱因斯坦想，也许首先应该从黎曼几何加以推广？作类似考虑的数学家和物理学家并非只有爱因斯坦一个，包括我们将在下一节中重点介绍的研究“纯无限小几何”的赫尔曼·外尔，以及从仿射几何出发的亚瑟·爱丁顿，提出五维时空的西奥多·卡鲁扎等人。

爱因斯坦对这些人的工作均有所闻，时而加以评论。他与外尔讨论过黎曼几何的推广，还与德国数学家卡鲁扎（Theodor Kaluza，1885-1954）有过短暂的合作。

根据卡鲁扎的建议，可以将广义相对论使用的度规张量加上一个额外的空间维，按如下方式推广到五维的时空：

其中五维度规张量（gab）的指标a和b从0变到4，而当指标m和n从0变到3时，所得公式中的gmn仍然表示原来广义相对论中的时空度规张量。此外，在第五维有关的新加元素中，Am表示电磁场的4维矢量势，f是一个标量场，这个标量场所对应的粒子被卡鲁扎称之为“radion”。

根据这个五维时空的构想，卡鲁扎可以得到好几组方程式，其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组，以及关于标量场f的方程。后来，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因又将此理论纳入量子力学，由此建立了卡鲁扎—克莱因理论。

如何解释理论中的第五维这个额外维度呢？卡鲁扎和克莱因认为，我们不能看到第五维空间，是因为它卷曲成了一个很小的圆，这个新颖的想法开了多维空间之先河，是第一个高维宇宙的模型，影响了之后的物理学家们建立标准模型时关于额外维度的几何构想。

卡鲁扎—克莱因第五维理论。

如上图c所示，第五维就像是在原来的4维时空（图中用平面的2维时空网格代替）中，加上了一些极小的圆圈，这些圆圈的尺寸太小时，我们就感觉不到它的存在，就像在现代的纺织机器织出的某些纤维布料中，我们看不到一些非常小的圈形纤维结构一样。还可以计算出这些圆圈的大小，只有约为10-30厘米的数量级。

从后来发展的规范理论来看，类似圆圈的第五维可以被理解成U(1)群，即复数平面上的旋转群。群的概念及U(1)群在今后的章节中还会提到，这是电磁场和量子力学中电子场相互作用的关键模型，后来被推广到杨-米尔斯理论等，再进一步又构建了标准模型。爱因斯坦应该思考过卡鲁扎-克莱因的想法，事实上卡鲁扎最原始的论文就是在他的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想，没有在这条路上走下去。

在探索统一场论时，爱因斯坦对物理和数学的观念发生了一些微妙的变化。或许是因为黎曼几何之于引力理论的重要性给他的冲击太大，印象太深刻了；也有可能是他对自己的物理直觉太过于自信了，以为不需要多想，那种自觉自然就在那里。总之，在后来几十年的研究中，他似乎不再像原来建立两个相对论时那样深究物理概念，提出革命思想，而是转而企图以几何出发来将广义相对论拓展到电磁场。可是很遗憾，这种从数学走向物理的想法没有使他成功。

爱因斯坦太钟爱广义相对论，抵制量子论，以至于他在1950 年评价物理学领域中的成果时说：“基础物理理论需要一开始就在基本概念上与广义相对论一致，否则在我看来都是注定会失败的。”可惜爱因斯坦这次的预言不准确，并且，他未成统一大业便驾鹤西去了。如今，不知远在天国的他是否已经注意到量子理论这几十年的成功，还是仍然像1950年那样，对量子理论与广义相对论的水火不容而耿耿于怀。

种种说不清的原因，使爱因斯坦最后 30 余年的科学努力，似乎一无所获，没有得到什么对现代物理研究来说值得一提的结果。不可否认，爱因斯坦是一个伟人，但毕竟100余年过去了，他的许多理论我们仍在使用，他的巨大的身影，与他坚持不懈的经典统一梦，却都渐行渐远，渐远渐淡，逐渐远离我们，慢慢消失在历史无情的岁月里…

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