利用开区间覆盖的约简给出$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个新证明

$\bf{Lindelöf}$覆盖定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并设$F$是$A$的一个无限开覆盖，则存在$F$的可数子集也覆盖$A$.

本文给出与数学分析(Tom M.Apostol)3.1.10 节中对于$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个不同证明方法.

由于$F$是$A$的一个无限开覆盖,因此$\bigcup F$是一个开集(其中$\bigcup F$指的是$F$中所有开集的并).根据开集的构造,可知可以把$\bigcup F$分解成至多可数个互不相交的开区间的并.设这些开区间形成集合$\{A_i:i\in J\}$.然后我们沿用开区间覆盖的约简中的符号.则我们知道,$\forall a\in A$,$a$必被$D\backslash T$覆盖,且只能被$D\backslash T$中至多两个元素覆盖.易得$D\backslash T$是至多可数的(怎么证?),因此易得$\{A_i:i\in J\}$是至多可数的(怎么证?),因此可得存在$F$的可数子集也覆盖$A$(为什么?)

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