二叉平衡树之AVL树【手动实现代码】
2023-12-02 03:50:22
目录
1、AVL树的概念
2、AVL树定义节点
3、AVL树的插入
4、AVL树的旋转
4.1、新节点插入较高左子树的左侧——右单旋
4.2、新节点插入较高右子树的右侧——左单旋
4.3、新节点插入较高左子树的右侧——左右双旋
4.4、新节点插入较高右子树的左侧——右左双旋
5、AVL树的验证
代码汇总：
6、AVL树的删除
7、AVL树性能分析
1、AVL树的概念
AVL树可能是一颗空树，或者是一颗具有性质的二叉搜索树：
- 左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差【即平衡因子】的绝对值不超过1
注：
- 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，他就是AVL树
- 如果他有n个节点，其高度可保持在O(logn)，搜索时间复杂度：O(logn)
- 当前节点的平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
例：
2、AVL树定义节点
public class AVLTree {static class TreeNode {public int val;public int bf;//平衡因子public TreeNode left;//左孩子引用public TreeNode right;//右孩子引用public TreeNode parent;//父节点引用public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;//根节点
}
3、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此，AVL树的插入，咱们呢，就可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新的节点
- 调整节点的平衡因子
代码：
/*** 插入新的节点* @param val* @return 插入成功，返回true，失败返回false*/public boolean insert(int val) {//1、按照二叉搜索树的方式插入新的节点if(root == null) {root = new TreeNode(val);return true;}TreeNode node = new TreeNode(val);TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while(cur != null) {if(cur.val < val){parent = cur;cur = cur.right;} else if(cur.val == val) {return false;} else {parent = cur;cur = cur.left;}}if(parent.val < val) {parent.right = node;} else {parent.left = node;}node.parent = parent;cur = node;//2、调节平衡因子}看一个例子：
调节平衡因子，需要注意的点：
cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
- 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
- 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
平衡因子更新时，存在一个问题，我们需要更新到什么时候停止呢？难道每次都要更新到根节点？
此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
- 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
- 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
- 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
先看目前我们所能写出来的代码：
//2、修改平衡因子//循环条件，暂时不看while () {//先看cur是parent的左还是右，决定平衡因子是加1还是减1if(cur == parent.right) {//右树高度增加，平衡因子++parent.bf++;} else {//左树高度增加，平衡因子--parent.bf--;}if(parent.bf == 0) {break;//已经平衡了} else if(parent.bf == 1 || parent.bf == -1) {//需要继续向上检查cur = parent;parent = parent.parent;} else {//需要左/右旋转if(parent.bf == 2) {//右树高----需要降低右树的高度if(parent.bf == 1) {} else {//parent.bf == -1}} else{//parent.bf == -2//左树高----需要降低左树的高度if(parent.bf == -1) {} else {//parent.bf == 1}}}}接下来，需要做的是，填充各个情况下，是需要将树进行左旋还是右旋
4、AVL树的旋转
4.1、新节点插入较高左子树的左侧——右单旋
流程：
具体实现：
另外p还需要考虑的情况：
代码：
/*** 右单旋* @param parent*/private void rotateRight(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;parent.left = subLR;subL.right = parent;//没有subLRif(subLR != null) {subLR.parent = parent;}//记录p的父节点TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subL;//检查当前是不是根节点if(parent == root) {root = subL;root.parent = null;} else {//不是根节点//判断左右树if(pParent.left == parent) {pParent.left = subL;} else {pParent.right = subL;}subL.parent = pParent;}subL.bf = 0;parent.bf = 0;}4.2、新节点插入较高右子树的右侧——左单旋
流程：
具体实现：
同上述的右旋，p单独考虑的情况【p也可能会是某个节点的左/右孩子】
代码：
/*** 左单旋* @param parent*/private void rotateLeft(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;parent.right = subRL;if(subRL != null) {subRL.parent = parent;}TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subR;if(root == parent) {root = subR;root.parent = null;} else {if (pParent.left == parent) {parent.left = subR;} else {parent.right = subR;}subR.parent = pParent;}subR.bf = 0;parent.bf = 0;}4.3、新节点插入较高左子树的右侧——左右双旋
流程：
当插入的值是55的时候，就是插入在50的右边，也是左右双旋，但是最终的平衡因子的更改略有差异，可以自己试着画一画。
代码：
/*** 左右双旋* @param parent*/private void rotateLR(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;int bf = subLR.bf;//左rotateLeft(parent.left);//右rotateRight(parent);if(bf == -1) {subL.bf = 0;subLR.bf = 0;parent.bf = 1;} else if(bf == 1) {subL.bf = -1;subLR.bf = 0;parent.bf = 0;}}4.4、新节点插入较高右子树的左侧——右左双旋
流程：
当插入的值是40的时候，就是插入在50的左边，也是右左双旋，但是最终的平衡因子的更改略有差异，可以自己试着画一画。
代码：
/*** 右左双旋* @param parent*/private void rotateRL(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;int bf = subRL.bf;rotateRight(parent.right);rotateLeft(parent);if(bf == 1) {parent.bf = -1;subR.bf = 0;subRL.bf = 0;} else {parent.bf = 0;subR.bf = 1;subRL.bf = 0;}}5、AVL树的验证
同插入类似，由于它是特殊的二叉搜索树，所以验证时，分两步：
- 验证是否为二叉搜索树
- 验证是否为平衡树
代码：
//中序遍历的结果是有序的 就能说明当前树 一定是搜索树public void inorder(TreeNode root) {if(root == null) return;inorder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inorder(root.right);}//计算高度private int height(TreeNode root) {if(root == null) return 0;int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);return leftH > rightH ? leftH+1 : rightH+1;}//是否高度平衡：public boolean isBalanced(TreeNode root) {if(root == null) return true;int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);if(rightH-leftH != root.bf) {System.out.println("这个节点："+root.val+" 平衡因子异常");return false;}return Math.abs(leftH-rightH) <= 1&& isBalanced(root.left)&& isBalanced(root.right);}
代码汇总：
/*** Created with IntelliJ IDEA.* Description:* User:龙宝* Date:2023-01-10* Time:17:38*/
public class AVLTree {static class TreeNode {public int val;public int bf;//平衡因子public TreeNode left;//左孩子引用public TreeNode right;//右孩子引用public TreeNode parent;//父节点引用public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;//根节点/*** 插入新的节点* @param val* @return 插入成功，返回true，失败返回false*/public boolean insert(int val) {//1、按照二叉搜索树的方式插入新的节点if(root == null) {root = new TreeNode(val);return true;}TreeNode node = new TreeNode(val);TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while(cur != null) {if(cur.val < val){parent = cur;cur = cur.right;} else if(cur.val == val) {return false;} else {parent = cur;cur = cur.left;}}if(parent.val < val) {parent.right = node;} else {parent.left = node;}node.parent = parent;cur = node;//2、修改平衡因子while (parent != null) {//先看cur是parent的左还是右，决定平衡因子是加1还是减1if(cur == parent.right) {//右树高度增加，平衡因子++parent.bf++;} else {//左树高度增加，平衡因子--parent.bf--;}if(parent.bf == 0) {break;//已经平衡了} else if(parent.bf == 1 || parent.bf == -1) {//需要继续向上检查cur = parent;parent = parent.parent;} else {if(parent.bf == 2) {//右树高----需要降低右树的高度if(cur.bf == 1) {//左旋rotateLeft(parent);} else {//cur.bf == -1rotateRL(parent);}} else{//parent.bf == -2//左树高----需要降低左树的高度if(cur.bf == -1) {//右旋rotateRight(parent);} else {//cur.bf == 1rotateLR(parent);}}break;}}return false;}/*** 右单旋* @param parent*/private void rotateRight(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;parent.left = subLR;subL.right = parent;//没有subLRif(subLR != null) {subLR.parent = parent;}//记录p的父节点TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subL;//检查当前是不是根节点if(parent == root) {root = subL;root.parent = null;} else {//不是根节点//判断左右树if(pParent.left == parent) {pParent.left = subL;} else {pParent.right = subL;}subL.parent = pParent;}subL.bf = 0;parent.bf = 0;}/*** 左单旋* @param parent*/private void rotateLeft(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;parent.right = subRL;if(subRL != null) {subRL.parent = parent;}TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subR;if(root == parent) {root = subR;root.parent = null;} else {if (pParent.left == parent) {parent.left = subR;} else {parent.right = subR;}subR.parent = pParent;}subR.bf = 0;parent.bf = 0;}/*** 左右双旋* @param parent*/private void rotateLR(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;int bf = subLR.bf;//左rotateLeft(parent.left);//右rotateRight(parent);if(bf == -1) {subL.bf = 0;subLR.bf = 0;parent.bf = 1;} else if(bf == 1) {subL.bf = -1;subLR.bf = 0;parent.bf = 0;}}/*** 右左双旋* @param parent*/private void rotateRL(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;int bf = subRL.bf;rotateRight(parent.right);rotateLeft(parent);if(bf == 1) {parent.bf = -1;subR.bf = 0;subRL.bf = 0;} else {parent.bf = 0;subR.bf = 1;subRL.bf = 0;}}//验证：//中序遍历的结果是有序的 就能说明当前树 一定是AVL树吗？ 不一定的public void inorder(TreeNode root) {if(root == null) return;inorder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inorder(root.right);}private int height(TreeNode root) {if(root == null) return 0;int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);return leftH > rightH ? leftH+1 : rightH+1;}public boolean isBalanced(TreeNode root) {if(root == null) return true;int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);if(rightH-leftH != root.bf) {System.out.println("这个节点："+root.val+" 平衡因子异常");return false;}return Math.abs(leftH-rightH) <= 1&& isBalanced(root.left)&& isBalanced(root.right);}}
6、AVL树的删除
同插入类似，先删除节点，在更新平衡因子，不同的是，删除节点后平衡因子的持续更新时，最差情况下需要一直调整到根节点处
7、AVL树性能分析
- 如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
- 如果要AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，例：插入时要维护绝对平衡，旋转次数较多，特别是在删除的时候，可能会一直让旋转持续到根的位置
好啦，本期结束咯，咱们下期见~
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