前两天看到CD超给出的证明2009最后一题G为循环群的证明,他是用生成元来证的,而我是用拉格朗日加循环群性质才证明出来,只是产生疑问:群是否都可以用元素来生成?

答:有任意限群G可以由集合S生成,是否可以由G的元素(eg.a,b是G中元素,S={a,b},G=<{a,b}>)来生成,需要看S是否全部包含在G的生成元中。

先来看维基百科http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%BE%A4%E7%9A%84%E7%94%9F%E6%88%90%E9%9B%86%E5%90%88

在抽象代数中,群 G生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。

更一般的说,如果 S 是群 G 的子集,则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群,这意味着它是包含 S 元素的所有子群的交集;等价的说,<S> 是可以用 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积表达的 G 的所有元素的子群。

如果 G = <S>,则我们称 S 生成 G;S 中的元素叫做生成元群生成元

如果 S 是空集,则 <S> 是平凡群 {e},因为我们认为空乘积是单位元。

如果 S 中只有一个单一元素 x ,<S> 通常写为 <x>。在这种情况下,<x> 是 x 的幂的循环子群,我们称这个循环群是用 x 生成的。与声称一个元素 x 生成一个群等价,还可以声称它有 |G|,或者说 <x> 等于整个群 G。

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题目如下:

先来看 课本例题结论:

CD超的证明:设H是G的子群,

                     则a是G中元素,G的子群H可以由a生成,即H=<a>,

                     假设G不是循环群,则G中存在b不等于a,且H=<b>,

                     与题干中G只有一个非平凡子群矛盾,

                     故G是循环群。

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看过他的证明,总觉得欠妥,于是参考了基维百科的定义后我给出下面的证明:

(下面的这个证明是我能想出来的非常完美的一个证明):

         设非空集合S是群G的子集,且S不等于G,

S所生成的子群<S>是包含所有S的元素的G的最小子群,即<S>是G的生成子群,即<S>是G的子群。

         假设G不是循环群,即|S|不小于1,取S中的任一元素a,则<a>是<S>的子群,也是G的子群,且a属于S,且|S|不小于1,与已知G只有一个非平凡的子群矛盾,

         故|S|只能等于1(否则,|S|=0即S为空集,则有<S>={e},与题干矛盾),则G=<S>=<a>是循环群。

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或者这么来证明

证明:由于G只有一个非平凡的子群,设H为G的子群,

         设非空集合S是群G的子集,且S不等于G,

         则S所生成的子群<S>是包含所有S的元素的G的最小子群。

         假设G不是循环群,对于S中任意元素a,b,且a不等于b,

         会有H=<a>,H=<b>成立,与已知G只有一个非平凡的子群矛盾,

         则G是循环群。

红字部分必须是子群H,不能用“G=<a>,G=<b>成立”替代,因为G=<a>,G=<b>不成立,根据:如果 S 是群 G 的子集,则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群。再者若S={a,b},才有G=<{a,b}>。

      

-------------------------------------联想到的:

其实我这么做了以后,我在想对称群A4,阶为12,它的没有6阶子群。哦,与本题无关了。

那就再想到几道例题的结论:

阶小于6的群都是循环群。

6阶群G在同构意义下有2个群:

若没有6阶元,则G不是循环群则必与S3同构;

若有   6阶元,则G是   循环群。

但6阶群G一定含有3阶元,但不一定必含1阶,2阶,3阶,6阶元。(粉色部分是自己推出来的)

阶为2p的群,在同构意义上只有2个群。

-------------------------------------联想到的:

还想到前几日小一妹妹在群里问的一道题:

10阶群G必有唯一的5阶元:

我是这么给出证明的:

存在性:

10阶群G,是偶阶群,必含2阶元,令a就是这个2阶元,然后讨论:

若G 有10阶元,则设a就是这个10阶元,那么a^2就是这个5阶元。

若G没有10阶元,除了一阶元(单位元)外,只有2阶元。G中所有元素a都满足a^2=e,即a^-1=a,取G中任意两个元素a,b:

ab=(ab)^-1=(b^-1)(a^-1)=ba,G是Abel群,取G中非单位元a和b,令H={e,a,b,ab},易证H是G的子群,但|G|无法被|H|整除,与拉格朗日定理矛盾。故必含5阶元。      

唯一性:

易证设a为2阶元则<a>和5阶群都为循环群(阶为素数的群为循环群),那么可以假设还有一个5阶子群<b>,由S 是群 G 的子集,则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群,如果 S 中只有一个单一元素 x ,<S> 通常写为 <x>。在这种情况下,<x> 是 x 的幂的循环子群知:<b>就是那个5阶群。

唯一性得证。

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这个题还可以这么证明:(大部分题,这样按照下面的做法都可以拿到全分)

存在性证明:

         G中只可能有1阶,2阶,5阶,10阶元。

         G中的1阶元是e;

         若G中的10阶元是a,那么a^2就是G中的5阶元。

         若G中不含10阶元,那么G中非单位元的只有2阶,5阶元,那么下面有反正法证必含5阶元。若不然,G中所有元素a都满足a^2=e,即a^-1=a,取G中任意两个元素a,b:

ab=(ab)^-1=(b^-1)(a^-1)=ba,G是Abel群,取G中非单位元a和b,令H={e,a,b,ab},易证H是G的子群,但|G|无法被|H|整除,与拉格朗日定理矛盾。故必含5阶元。      

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在2009年那道真题中,我实际用的时候没有这么简单的想,因为对于群是否可以由任意元素来生成没有根据,所以这里翻墙到维基百科查了一下,觉得应该这么去证明吧。

但是我证明的时候,用到这几点:

根据拉格朗日定理得到G的非平凡群为G的正规子群,有假设子群的阶推出G为偶数阶群,而偶数阶群必有2阶元,再根据2阶元可以交换G中任意元素得到G是循环群,部分证明如下:


没有拍完,后面的证明类似课本证明课本中X^2=e得出来交换性,然后可以得到G为循环群。

第二问的答案在:http://blog.csdn.net/mygodhome/archive/2010/11/19/6021567.aspx

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再来看1997年一道真题:

上图绿字部分为 群中心与元素正规化子关系

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有限生成群:

如果 S 是有限的,则群 G = <S> 叫做有限生成群。有限生成阿贝尔群的结构特别容易描述。很多对有限生成群成立的定理对一般的群无效。

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自由群:由集合 S 生成的最一般的群是 S 自由生成的群。所有 S 生成的群同构于这个群的因子群,这个特征实用于一个群的展示的表达中。

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例子:

可逆元的群 U(Z9) 是所有的互素于 9 的整数在 mod 9 乘法下的群(U9 ={1,2,4,5,7,8})。这里的所有算术都要模以 9 。7 不是 U(Z9) 的生成元,因为

而2是,因为

群的生成集合:

所有有限群是有限生成群,因为 <G> = G。整数集在加法下的群是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的无限群的例子,但是有理数集在加法下的群不能有限生成。不可数群都不能有限生成。

同一个群的不同子集都可以是生成子集;比如,如果 p 和 q 是gcd(pq) = 1 的整数,则 <{p, q}> 还生成整数集在加法下的群(根据贝祖等式)。

尽管有限生成群的所有商群是有限生成群为真(简单的在商群中选取生成元的像),

有限生成群子群不必须是有限生成群,例如,设 G 是有两个生成元 xy 的自由群,(它明显是有限生成群,因为 G = <{x,y}>),并设 S 是由形如 ynxyn 的所有 G 的元素构成子集,这里的 n 是自然数。因为 <S> 明显同构于有可数个生成元的自由群,它不能被有限生成。但是,所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论,选取(有限生成)正规子群商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了这个群。

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补充几点循环群的知识点:

其中这个例子如按照PKU课本来做是不对,

若按照PKU教材定理逆复合,来验证验证(15236)是不等于(15)(12)(13)(16),

按照PKU指定的教材中的定理,应该有:            (15236)= (16)(13)(12)(15)

如此对比可以知道:此处剪贴的例题中用的乘运算(复合),是正序复合,而PKU课本中在第3章函数部分就已经说明,关于复合在PKU中都是指逆复合

若每个轮换不交,轮换之间可以无序。     

关于任意群是否都是可以由其元素生成,及群中心与元素正规化子关系的分析(2009及1997群论真题)相关推荐

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