矩阵的秩

1 k阶子式和秩的定义
2 矩阵的秩的定理
3 有关秩的性质

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1 k阶子式和秩的定义

给定一个矩阵，任取k行和k列交叉元素，组成的行列式，就成为k阶子式，比如A3X4A_{3X4}A3X4取2阶子式，可以取前两行和后两列，结果如下:(由于只有3行，所以最多有3阶子式)
A=[2,2,2,23,3,3,21,1,1,1]k2=∣2,23,2∣A = \left[ \begin{matrix} 2,2,2,2\\3,3,3,2\\1,1,1,1 \end{matrix} \right]\space \space \space \space k_{2}=\begin{vmatrix} 2,2\\3,2\end{vmatrix}A=⎣⎡2,2,2,23,3,3,21,1,1,1⎦⎤ k2=∣∣∣∣2,23,2∣∣∣∣然后查看一下示例的这个矩阵可以取得的各阶子式的值

1阶子式的值：方阵中各个元素的值
2阶子式的值：0,0,-2（选择前两行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,0（取一三行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,1（取二三行，第一列和其余列的行列式值）
3阶子式的值：0,0,0,0（只有三行，任意取三列，共有四种取法，最后结果都是0）

那么规定非零子式的最高阶数称作：矩阵的秩。比如刚刚的示例矩阵，其3阶子式全为0，所以最高的非零子式只有2阶，故矩阵的秩为2。

规定和性质：

零矩阵的秩为0，也就是r(0) = 0
若矩阵AmXnA_{mXn}AmXn，则矩阵的秩取值范围为：0<=r(A)<=min{m,n}0<=r(A)<=min\{m,n\}0<=r(A)<=min{m,n}，若r(A)=mr(A) = mr(A)=m取所有的行，被称为行满秩矩阵；若r(A)=nr(A)=nr(A)=n即是取到了所有的列，被称作为列满秩矩阵；这两种情况都是称作满秩，说明r(A)=min{m,n}r(A) =min\{m,n\}r(A)=min{m,n}
若r(A)<min{m,n}r(A) < min\{m,n\}r(A)<min{m,n}，说明矩阵是降秩矩阵
若A为方阵，A满秩⟺A可逆⟺∣A∣≠0A满秩 \iff A可逆 \iff|A| \not=0A满秩⟺A可逆⟺∣A∣=0

2 矩阵的秩的定理

定理1： r(A)=r⟺有一个r阶子式不为0，所有的r+1阶均为0r(A) = r \iff 有一个r阶子式不为0，所有的r+1阶均为0r(A)=r⟺有一个r阶子式不为0，所有的r+1阶均为0（可以通过行列式的展开定理实现证明）

阶梯型矩阵：
1）若有零行，零行在非零行的下面；
2）左起首非零元左边零的个数随行数增加而严格增加
A=[1,1,1,1,10,1,1,1,10,0,0,1,10,0,0,3,40,0,0,0,0]这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点A = \left[ \begin{matrix} 1,1,1,1,1\\0,1,1,1,1\\0,0,0,1,1 \\ 0,0,0,3,4\\0,0,0,0,0\end{matrix} \right] 这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1,1,1,1,10,1,1,1,10,0,0,1,10,0,0,3,40,0,0,0,0⎦⎥⎥⎥⎥⎤这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点
行简化阶梯型：
1）非零行的首非零元是1
2）首非零元所在列的其余元素都是0

A=[1,0,0,0,10,1,0,0,10,0,0,1,10,0,0,0,00,0,0,0,0]A = \left[ \begin{matrix} 1,0,0,0,1\\0,1,0,0,1\\0,0,0,1,1 \\ 0,0,0,0,0\\0,0,0,0,0\end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1,0,0,0,10,1,0,0,10,0,0,1,10,0,0,0,00,0,0,0,0⎦⎥⎥⎥⎥⎤

由此可以得出一个结论：矩阵的秩还可以用非零行的行数表示，非零行有几行，那么秩就为几

定理2：初等变换不改变矩阵的秩。一般使用初等行变换化为阶梯型

A=[1,−1,2,1,02,−2,4,−2,03,0,6,−1,10,3,0,0,1]⇒[1,−1,2,1,00,0,0,−4,00,3,0,−4,10,3,0,0,1]⇒[1,−1,2,1,00,3,0,−4,10,0,0,−4,00,0,0,0,0]⇒r(A)=3A = \left[ \begin{matrix} 1,-1,2,1,0\\2,-2,4,-2,0\\3,0,6,-1,1 \\ 0,3,0,0,1\end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1,-1,2,1,0\\0,0,0,-4,0\\0,3,0,-4,1 \\ 0,3,0,0,1\end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1,-1,2,1,0\\0,3,0,-4,1\\0,0,0,-4,0 \\ 0,0,0,0,0\end{matrix} \right] \Rightarrow r(A) = 3A=⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,02,−2,4,−2,03,0,6,−1,10,3,0,0,1⎦⎥⎥⎤⇒⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,00,0,0,−4,00,3,0,−4,10,3,0,0,1⎦⎥⎥⎤⇒⎣⎢⎢⎡1,−1,2,1,00,3,0,−4,10,0,0,−4,00,0,0,0,0⎦⎥⎥⎤⇒r(A)=3

3 有关秩的性质

r(A)=r(AT)r(A) = r(A^{T})r(A)=r(AT)
矩阵乘以可逆矩阵，秩不变
AmXnA_{mXn}AmXn，PPP是m阶可逆方阵，QQQ是n阶可逆方阵 ⇒r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\Rightarrow r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)⇒r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)，这里使用大白话说就是：矩阵左乘可逆矩阵、右乘可逆矩阵、左右乘可逆矩阵，矩阵的秩不变

哈哈哈，宋老师很皮~

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